Корректировка по методу наименьших квадратов

Корректировка по методу наименьших квадратов — это модель для решения переопределенной системы уравнений, основанная на принципе наименьших квадратов остатков наблюдений . Она широко используется в таких дисциплинах, как геодезия , фотограмметрия и геоматрикс — области геоматики , в совокупности.

Формулировка

Существует три формы корректировки методом наименьших квадратов: параметрическая , условная и комбинированная :

• При параметрической настройке можно найти уравнение наблюдения h ( X ) = Y, связывающее наблюдения Y явно через параметры X (что приводит к А-модели ниже).
• При условной корректировке существует уравнение условия g ( Y ) = 0, включающее только наблюдения Y (что приводит к B-модели ниже) — без каких-либо параметров X.
• Наконец, при комбинированной корректировке как параметры X , так и наблюдения Y неявно включены в уравнение смешанной модели f ( X , Y ) = 0 .

Очевидно, что параметрические и условные корректировки соответствуют более общему комбинированному случаю, когда f ( X , Y ) = h ( X ) - Y и f ( X , Y ) = g ( Y ) , соответственно. Однако особые случаи требуют более простых решений, как подробно описано ниже. Часто в литературе Y может обозначаться как L .

Решение

Равенства выше справедливы только для оценочных параметров и наблюдений , таким образом . Напротив, измеренные наблюдения и приближенные параметры приводят к ненулевой невязке : Можно перейти к разложению уравнений в ряд Тейлора , что приводит к якобианам или матрицам проектирования : первой и второй, Тогда линеаризованная модель имеет вид: где — оценочные поправки параметров к априорным значениям, а — остатки наблюдений после подгонки . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ $${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$$ $${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$$ $${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$$ $${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}}$

В параметрической настройке вторая матрица плана является тождеством, B =- I , а вектор невязки можно интерпретировать как остатки предварительной подгонки, , поэтому система упрощается до: , которая имеет форму обычных наименьших квадратов . В условной настройке первая матрица плана равна нулю, A = 0 . Для более общих случаев вводятся множители Лагранжа , чтобы связать две матрицы Якоби и преобразовать ограниченную задачу наименьших квадратов в неограниченную (хотя и большую). В любом случае их манипуляция приводит к векторам и , а также к соответствующим параметрам и апостериорным ковариационным матрицам наблюдений. ${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}}$ $${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},}$$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}}$

Вычисление

Учитывая матрицы и векторы, приведенные выше, их решение находится с помощью стандартных методов наименьших квадратов; например, формирование нормальной матрицы и применение разложения Холецкого , применение QR-факторизации непосредственно к матрице Якоби, итерационные методы для очень больших систем и т. д.

Отработанные примеры

Приложения

• Сети нивелирования , траверса и управления
• Регулировка пучка
• Триангуляция , Трилатерация , Триангуляция
• GPS / GNSS позиционирование
• преобразование Гельмерта

Связанные концепции

• Параметрическая корректировка аналогична большинству методов регрессионного анализа и совпадает с моделью Гаусса–Маркова.
• Комбинированная регулировка, также известная какМодель Гаусса–Гельмерта (названная в честь немецких математиков/геодезистовК. Ф. ГауссаиФ. Р. Гельмерта),^[1][2]связана смоделями ошибок в переменныхиобщими наименьшими квадратами.^[3][4]
• Использование матрицы ковариации априорных параметров сродни регуляризации Тихонова

Расширения

Если обнаруживается дефицит ранга , его часто можно исправить путем включения дополнительных уравнений, налагающих ограничения на параметры и/или наблюдения, что приводит к ограниченным наименьшим квадратам .

Ссылки

1. Kotz, Samuel; Read, Campbell B.; Balakrishnan, N.; Vidakovic, Brani; Johnson, Norman L. (2004-07-15). "Модель Гаусса-Гельмерта". Энциклопедия статистических наук . Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc. doi :10.1002/0471667196.ess0854.pub2. ISBN 978-0-471-66719-3.
2. Фёрстнер, Вольфганг; Врубель, Бернхард П. (2016). «Оценка». Фотограмметрическое компьютерное зрение . Геометрия и вычисления. Том. 11. Чам: Международное издательство Springer. стр. 75–190. дои : 10.1007/978-3-319-11550-4_4. ISBN 978-3-319-11549-8. ISSN  1866-6795.
3. Шаффрин, Буркхард; Сноу, Кайл (2010). «Полная регуляризация наименьших квадратов типа Тихонова и древний ипподром в Коринфе». Линейная алгебра и ее приложения . 432 (8). Elsevier BV: 2061–2076. doi : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN  0024-3795.
4. Neitzel, Frank (2010-09-17). «Обобщение метода наименьших квадратов на примере невзвешенного и взвешенного двумерного преобразования подобия». Journal of Geodesy . 84 (12). Springer Science and Business Media LLC: 751–762. Bibcode : 2010JGeod..84..751N. doi : 10.1007/s00190-010-0408-0. ISSN  0949-7714. S2CID  123207786.

Библиография

Конспекты лекций и технические отчеты

• Нико Снеев и Фридхельм Крум, «Теория адаптации», Геодатский институт, Университет Штутгарта , 2014 г.
• Кракивский, «Синтез последних достижений в методе наименьших квадратов», Конспект лекций № 42, Кафедра геодезии и геоматики, Университет Нью-Брансуика , 1975 г.
• Cross, PA "Advanced least squares applied to position-fixing", University of East London , School of Geodeography, Working Paper No. 6, ISSN  0260-9142, January 1994. Первое издание April 1983, Reprinted with Corrections January 1990. (Original Working Papers, North East London Polytechnic , Dept. of Geodeography, 205 pp., 1983.)
• Сноу, Кайл Б., Применение оценки параметров и проверки гипотез для корректировки сетей GPS, Отделение геодезических наук, Университет штата Огайо , 2002 г.

Книги и главы

• Фридрих Роберт Гельмерт . Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate ( вычисление корректировки на основе метода наименьших квадратов ). Лейпциг: Тойбнер, 1872. <http://eudml.org/doc/203764>.
• Рейно Антеро Хирвонен , «Корректировки по методу наименьших квадратов в геодезии и фотограмметрии», Ungar, Нью-Йорк. 261 стр., ISBN 0804443971 , ISBN 978-0804443975 , 1971.  
• Эдвард М. Михаил, Фридрих Э. Акерман, «Наблюдения и наименьшие квадраты», University Press of America, 1982
• Вольф, Пол Р. (1995). «Корректировка измерений при обследовании по методу наименьших квадратов». Справочник геодезиста . С. 383–413. doi :10.1007/978-1-4615-2067-2_16. ISBN 978-1-4613-5858-9.
• Питер Ваничек и Э. Дж. Кракивски, «Геодезия: концепции». Амстердам: Elsevier. (третье изд.): ISBN 0-444-87777-0 , ISBN 978-0-444-87777-2 ; гл. 12, «Решение переопределенных моделей методом наименьших квадратов», стр. 202–213, 1986.  
• Гилберт Стрэнг и Кай Борре, «Линейная алгебра, геодезия и GPS», SIAM, 624 страницы, 1997.
• Пол Вольф и Бон ДеВитт, «Элементы фотограмметрии с применением в ГИС», McGraw-Hill, 2000
• Карл-Рудольф Кох, «Оценка параметров и проверка гипотез в линейных моделях», 2-е изд., Springer, 2000 г.
• П. Й. Г. Тойниссен, «Теория адаптации, введение», Delft Academic Press, 2000
• Эдвард М. Михаил, Джеймс С. Бетел, Дж. Крис МакГлон, «Введение в современную фотограмметрию», Wiley, 2001
• Харви, Брюс Р., «Практические наименьшие квадраты и статистика для геодезистов», Монография 13, Третье издание, Факультет геодезии и пространственных информационных систем, Университет Нового Южного Уэльса, 2006 г.
• Хуаан Фань, «Теория ошибок и корректировка по методу наименьших квадратов», Королевский технологический институт (KTH), Отдел геодезии и геоинформатики, Стокгольм, Швеция, 2010 г., ISBN 91-7170-200-8 . 
• Гилсдорф, Ф.; Хиллманн, Т. (2011). «Математика и статистика». Springer Handbook of Geographic Information . стр. 7–10. doi :10.1007/978-3-540-72680-7_2. ISBN 978-3-540-72678-4.
• Чарльз Д. Гилани, «Вычисления корректировки: анализ пространственных данных», John Wiley & Sons, 2011 г.
• Чарльз Д. Гилани и Пол Р. Вольф, «Элементарная съемка: Введение в геоматику», 13-е издание, Prentice Hall, 2011 г.
• Эрик Графаренд и Джозеф Аванге, «Применение линейных и нелинейных моделей: фиксированные эффекты, случайные эффекты и метод наименьших квадратов», Springer, 2012 г.
• Альфред Лейк, Лев Рапопорт и Дмитрий Татарников, «Спутниковая съемка GPS», 4-е издание, John Wiley & Sons, ISBN 9781119018612 ; Глава 2, «Корректировки методом наименьших квадратов», стр. 11–79, doi:10.1002/9781119018612.ch2 
• A. Fotiou (2018) «Обсуждение корректировки по методу наименьших квадратов с рабочими примерами» В: Fotiou A., D. Rossikopoulos, ред. (2018): «Quod erat demonstrandum. В поисках окончательного геодезического понимания». Специальный выпуск для почетного профессора Афанасиоса Дерманиса. Публикация Школы сельского и геодезического инжиниринга, Университет Аристотеля в Салониках, 405 страниц. ISBN 978-960-89704-4-1 [1] 
• Джон Олусегун Огундаре (2018), «Понимание оценки наименьших квадратов и анализа геоматических данных», John Wiley & Sons, 720 страниц, ISBN 9781119501404 . 
• Шэнь, Юньчжун; Сюй, Гочан (2012-07-31). «Регуляризация и корректировка». Науки геодезии - II . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 293–337. doi :10.1007/978-3-642-28000-9_6. ISBN 978-3-642-27999-7.