процесс Морана

Стохастический процесс, используемый в биологии для описания конечных популяций.

Процесс Морана или модель Морана — это простой стохастический процесс , используемый в биологии для описания конечных популяций. Процесс назван в честь Патрика Морана , который впервые предложил эту модель в 1958 году. ^[1] Его можно использовать для моделирования процессов увеличения разнообразия, таких как мутация , а также эффектов уменьшения разнообразия, таких как генетический дрейф и естественный отбор . Процесс может описывать вероятностную динамику в конечной популяции постоянного размера N, в которой два аллеля A и B конкурируют за доминирование. Два аллеля считаются истинными репликаторами (т. е. сущностями, которые делают копии самих себя).

На каждом временном шаге случайная особь (которая относится либо к типу A, либо к типу B) выбирается для размножения, а случайная особь выбирается для смерти; таким образом, размер популяции остается постоянным. Для моделирования отбора один тип должен иметь более высокую приспособленность и, таким образом, с большей вероятностью будет выбран для размножения. Одна и та же особь может быть выбрана для смерти и для размножения на одном и том же шаге.

Дрейф нейтрали

Нейтральный дрейф — это идея о том, что нейтральная мутация может распространяться по всей популяции, так что в конечном итоге исходный аллель теряется. Нейтральная мутация не приносит никаких преимуществ или недостатков в плане приспособленности ее носителю. Простой случай процесса Морана может описать это явление.

Процесс Морана определяется на пространстве состояний i = 0, ..., N , которое подсчитывает количество особей A. Поскольку количество особей A может изменяться максимум на единицу на каждом временном шаге, переход существует только между состоянием i и состоянием i − 1, i и i + 1. Таким образом, матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{N}}{\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {i}{N}}{\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}}$

Запись обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Чтобы понять формулы для вероятностей перехода, нужно взглянуть на определение процесса, в котором говорится, что всегда одна особь будет выбрана для размножения, а другая — для смерти. После того, как особи A вымерли, они никогда не будут повторно введены в популяцию, поскольку процесс не моделирует мутации (A не может быть повторно введена в популяцию после того, как она вымерла, и наоборот ) и, таким образом . По той же причине популяция особей A всегда останется N, как только они достигнут этого числа и захватят популяцию и, таким образом . Состояния 0 и N называются поглощающими, в то время как состояния 1, ..., N − 1 называются переходными . Промежуточные вероятности перехода можно объяснить, рассматривая первый член как вероятность выбора особи, численность которой увеличится на единицу, а второй член — вероятность выбора другого типа для смерти. Очевидно, что если для размножения и для смерти выбран один и тот же тип, то численность одного типа не изменится. ${\displaystyle P_{i,j}}$ ${\displaystyle P_{0,0}=1}$ ${\displaystyle P_{N,N}=1}$

В конце концов популяция достигнет одного из поглощающих состояний и останется там навсегда. В переходных состояниях будут происходить случайные колебания, но в конце концов популяция A либо вымрет, либо достигнет фиксации. Это одно из самых важных отличий от детерминированных процессов, которые не могут моделировать случайные события. Ожидаемое значение и дисперсия числа особей A X ( t ) в момент времени t могут быть вычислены, если задано начальное состояние X (0) = i :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]&=i\\\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i)&={\tfrac {2i}{N}}\left(1-{\tfrac {i}{N}}\right){\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}\end{aligned}}}$

Для математического вывода уравнения выше нажмите «показать», чтобы увидеть

Для ожидаемого значения расчет выполняется следующим образом. Запись p = ⁠я/Н⁠ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=(i-1)P_{i,i-1}+iP_{i,i}+(i+1)P_{i,i+1}\\&=2ip(1-p)+i(p^{2}+(1-p)^{2})\\&=i.\end{aligned}}}$

Написание и , и применение закона полного ожидания , Применение аргумента неоднократно дает или ${\displaystyle Y=X(t)}$ ${\displaystyle Z=X(t-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)],}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i.}$

Для дисперсии расчет выполняется следующим образом. Записывая, имеем ${\displaystyle V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E} [X(1)\mid X(0)=i]^{2}\\&=(i-1)^{2}p(1-p)+i^{2}\left(p^{2}+(1-p)^{2}\right)+(i+1)^{2}p(1-p)-i^{2}\\&=2p(1-p)\end{aligned}}}$

Для всех t и одинаково распределены, поэтому их дисперсии равны. Записывая, как и прежде , и применяя закон полной дисперсии , ${\displaystyle (X(t)\mid X(t-1)=i)}$ ${\displaystyle (X(1)\mid X(0)=i)}$ ${\displaystyle Y=X(t)}$ ${\displaystyle Z=X(t-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y\mid Z)]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z}{N}}\right)\left(1-{\frac {Z}{N}}\right)\right]+\operatorname {Var} (Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)\left(1-{\frac {\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\operatorname {Var} (Z).\end{aligned}}}$

Если , то получаем ${\displaystyle X(0)=i}$

${\displaystyle V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.}$

Переписываем это уравнение как

${\displaystyle V_{t}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t-1}\left(V_{1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)}$

урожайность

${\displaystyle V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}}$

по желанию.

---

Вероятность того, что A достигнет фиксации, называется вероятностью фиксации . Для простого процесса Морана эта вероятность равна x _i = ⁠я/Н⁠ .

Поскольку все особи имеют одинаковую приспособленность, у них также есть одинаковый шанс стать предком всей популяции; эта вероятность равна ⁠1/Н⁠ и, таким образом, сумма всех i вероятностей (для всех индивидуумов A) равна просто ⁠я/Н⁠ . Среднее время до поглощения, начинающегося в состоянии i, определяется по формуле

${\displaystyle k_{i}=N\left[\sum _{j=1}^{i}{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}{\frac {i}{j}}\right]}$

Для математического вывода уравнения выше нажмите «показать», чтобы увидеть

Среднее время, проведенное в состоянии j при старте в состоянии i , которое определяется по формуле

${\displaystyle k_{i}^{j}=\delta _{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}}$

Здесь δ _ij обозначает дельту Кренкера . Это рекурсивное уравнение можно решить, используя новую переменную q _i так, что и, таким образом , и переписать ${\displaystyle P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i,i}=1-2q_{i}}$

${\displaystyle k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}}$

Используется переменная , и уравнение становится ${\displaystyle y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}\\\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})+(k_{2}^{j}-k_{1}^{j})+\cdots +(k_{m-1}^{j}-k_{m-2}^{j})+(k_{m}^{j}-k_{m-1}^{j})\\&=k_{m}^{j}-k_{0}^{j}\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=k_{m}^{j}\\\\y_{1}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})=k_{1}^{j}\\y_{2}^{j}&=y_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}\\y_{3}^{j}&=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}-{\frac {\delta _{2j}}{q_{2}}}\\&\vdots \\y_{i}^{j}&=k_{1}^{j}-\sum _{r=1}^{i-1}{\frac {\delta _{rj}}{q_{r}}}={\begin{cases}k_{1}^{j}&j\geq i\\k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\\\\k_{i}^{j}&=\sum _{m=1}^{i}y_{m}^{j}={\begin{cases}i\cdot k_{1}^{j}&j\geq i\\i\cdot k_{1}^{j}-{\frac {i-j}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\end{aligned}}}$

Зная это и ${\displaystyle k_{N}^{j}=0}$

${\displaystyle q_{j}=P_{j,j+1}={\frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}}$

мы можем рассчитать : ${\displaystyle k_{1}^{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}}}=0\\k_{1}^{j}&={\frac {N}{j}}\end{aligned}}}$

Поэтому

${\displaystyle k_{i}^{j}={\begin{cases}{\frac {i}{j}}\cdot k_{j}^{j}&j\geq i\\{\frac {N-i}{N-j}}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end{cases}}}$

с . Теперь k _i , общее время до фиксации, начиная с состояния i , можно рассчитать ${\displaystyle k_{j}^{j}=N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{i}=\sum _{j=1}^{N-1}k_{i}^{j}&=\sum _{j=1}^{i}k_{i}^{j}+\sum _{j=i+1}^{N-1}k_{i}^{j}\\&=\sum _{j=1}^{i}N{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}N{\frac {i}{j}}\end{aligned}}}$

---

Для больших N приближение

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }k_{i}\approx -N^{2}\left[(1-x_{i})\ln(1-x_{i})+x_{i}\ln(x_{i})\right]}$

держится.

Выбор

Если один аллель имеет преимущество в приспособленности перед другим аллелем, он с большей вероятностью будет выбран для размножения. Это можно включить в модель, если особи с аллелем A имеют приспособленность , а особи с аллелем B имеют приспособленность , где — число особей типа A; таким образом, описывая общий процесс рождения-смерти. Матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму. Пусть , тогда вероятности перехода равны ${\displaystyle f_{i}>0}$ ${\displaystyle g_{i}>0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{i}:=f_{i}/g_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {g_{i}\cdot (N-i)}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {\frac {N-i}{N}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}}$

Запись обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Отличие от нейтрального отбора выше в том, что теперь мутант, т.е. особь с аллелем B, выбирается для размножения с вероятностью ${\displaystyle P_{i,j}}$

${\displaystyle {\frac {r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},}$

и индивидуум с аллелем А выбирается с вероятностью

${\displaystyle {\frac {\frac {N-i}{i}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},}$

когда число особей с аллелем B равно ровно i.

Также в этом случае вероятности фиксации при старте в состоянии i определяются рекуррентностью

${\displaystyle x_{i}={\begin{cases}0&i=0\\\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}&1\leq i\leq N-1\\1&i=N\end{cases}}}$

А замкнутая форма имеет вид

${\displaystyle x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}\qquad {\text{(1)}}}$

где по определению и будет только для общего случая. ${\displaystyle \gamma _{i}=P_{i,i-1}/P_{i,i+1}}$ ${\displaystyle g_{i}/f_{i}}$

Для математического вывода уравнения выше нажмите «показать», чтобы увидеть

Также в этом случае вероятности фиксации могут быть вычислены, но вероятности перехода не симметричны. Используется обозначение и . Вероятность фиксации может быть определена рекурсивно, и вводится новая переменная. ${\displaystyle P_{i,i+1}=\alpha _{i},P_{i,i-1}=\beta _{i},P_{i,i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}=\beta _{i}/\alpha _{i}}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}\\\beta _{i}(x_{i}-x_{i-1})&=\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})\\\gamma _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}}$

Теперь два свойства из определения переменной y _i можно использовать для нахождения решения в замкнутой форме для вероятностей фиксации:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}&=x_{m}&&1\\y_{k}&=x_{1}\cdot \prod _{l=1}^{k-1}\gamma _{l}&&2\\\Rightarrow \sum _{m=1}^{i}y_{m}&=x_{1}+x_{1}\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}=x_{i}&&3\end{aligned}}}$

Объединяем (3) и x _N = 1 :

${\displaystyle x_{1}\left(1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}\right)=x_{N}=1.}$

что подразумевает:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}}$

Это в свою очередь дает нам:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}}$

---

Этот общий случай, когда приспособленность A и B зависит от распространенности каждого типа, изучается в эволюционной теории игр .

Менее сложные результаты получаются, если предполагается постоянное отношение приспособленности для всех i. Особи типа A размножаются с постоянной скоростью r , а особи с аллелем B размножаются со скоростью 1. Таким образом, если у A есть преимущество в приспособленности над B, r будет больше единицы, в противном случае оно будет меньше единицы. Таким образом, матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны ${\displaystyle r=1/\gamma _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0,0}&=1\\P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {\frac {N-i}{N}}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {r\cdot i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r\cdot {\frac {i}{N}}}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\P_{N,N}&=1.\end{aligned}}}$

В этом случае — постоянный фактор для каждого состава популяции и, таким образом, вероятность фиксации из уравнения (1) упрощается до ${\displaystyle \gamma _{i}=1/r}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {1-r^{-i}}{1-r^{-N}}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}=\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\qquad {\text{(2)}}}$

где вероятность фиксации одного мутанта A в популяции, состоящей исключительно из B, часто представляет интерес и обозначается как ρ .

Также в случае отбора можно рассчитать ожидаемое значение и дисперсию числа особей А.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\\\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=p(1-p){\dfrac {(s+1)+(ps+1)^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

где р = ⁠я/Н⁠ , и r = 1 + s .

Для математического вывода уравнения выше нажмите «показать», чтобы увидеть

Для ожидаемого значения расчет выполняется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\Delta (1)\mid X(0)=i]&=(i-1-i)\cdot P_{i,i-1}+(i-i)\cdot P_{i,i}+(i+1-i)\cdot P_{i,i+1}\\&=-{\frac {N-i}{ri+N-i}}{\frac {i}{N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\end{aligned}}}$

Для дисперсии расчет выполняется следующим образом, используя дисперсию одного шага

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var} (X(t))+\operatorname {Var} (\Delta (t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=(i-1-i)^{2}\cdot P_{i,i-1}+(i-i)^{2}\cdot P_{i,i}+(i+1-i)^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&={\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\left(ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\right)^{2}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)^{2}}}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p)}{(ps+1)^{2}}}\\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

---

Скорость эволюции

В популяции, состоящей из всех особей B , один мутант A захватит всю популяцию с вероятностью

${\displaystyle \rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}.\qquad {\text{(2)}}}$

Если скорость мутации (перехода от аллеля B к аллелю A ) в популяции равна u , то скорость, с которой один член популяции мутирует в аллель A, определяется как N × u , а скорость, с которой вся популяция переходит от всех аллелей B ко всем аллелям A, равна скорости возникновения одного мутанта A, умноженной на вероятность того, что он захватит популяцию ( вероятность фиксации ):

${\displaystyle R=N\cdot u\cdot \rho =u\quad {\text{if}}\quad \rho ={\frac {1}{N}}.}$

Таким образом, если мутация нейтральна (т.е. вероятность фиксации равна всего лишь 1/ N ), то скорость, с которой аллель возникает и захватывает популяцию, не зависит от размера популяции и равна скорости мутации. Этот важный результат является основой нейтральной теории эволюции и предполагает, что количество наблюдаемых точечных мутаций в геномах двух разных видов будет просто дано скоростью мутации, умноженной на два времени с момента расхождения . Таким образом, нейтральная теория эволюции предоставляет молекулярные часы , учитывая, что предположения выполнены, что может не соответствовать действительности.

Смотрите также

• Слабый отбор

Ссылки

1. Моран, ПАП (1958). «Случайные процессы в генетике». Математические труды Кембриджского философского общества . 54 (1): 60–71. doi :10.1017/S0305004100033193.

Дальнейшее чтение

• Новак, Мартин А. (2006). Эволюционная динамика: исследование уравнений жизни . Belknap Press. ISBN 978-0-674-02338-3.
• Моран, Патрик Альфред Пирс (1962). Статистические процессы эволюционной теории . Оксфорд: Clarendon Press.

Внешние ссылки

• «Эволюционная динамика на графах».