Модель Ходжкина – Хаксли

Описывает, как нейроны передают электрические сигналы.

Основные компоненты моделей типа Ходжкина-Хаксли, которые представляют биофизические характеристики клеточных мембран . Липидный бислой представлен как емкость ( См ₎ . Потенциал-управляемые и ионные каналы утечки представлены нелинейной ( g _n ) и линейной ( g _L ) проводимостями соответственно. Электрохимические градиенты, приводящие в движение поток ионов, представлены батареями (Е), а ионные насосы и обменники представлены источниками тока ( I _p ).

Модель Ходжкина-Хаксли , или модель, основанная на проводимости , представляет собой математическую модель , которая описывает, как инициируются и распространяются потенциалы действия в нейронах . Это набор нелинейных дифференциальных уравнений , который аппроксимирует электротехнические характеристики возбудимых клеток, таких как нейроны и мышечные клетки . Это динамическая система, работающая в непрерывном времени .

Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли описали эту модель в 1952 году, чтобы объяснить ионные механизмы, лежащие в основе инициирования и распространения потенциалов действия в гигантском аксоне кальмара . ^[1] За эту работу они получили Нобелевскую премию по физиологии и медицине 1963 года .

Основные компоненты

Типичная модель Ходжкина – Хаксли рассматривает каждый компонент возбудимой клетки как электрический элемент (как показано на рисунке). Липидный бислой представлен как емкость (C _m ). Потенциал-управляемые ионные каналы представлены электропроводностью ( g _n , где n — конкретный ионный канал), которая зависит как от напряжения, так и от времени. Каналы утечки представлены линейными проводимостями ( g _L ). Электрохимические градиенты , управляющие потоком ионов, представлены источниками напряжения ( En ₎ , напряжение которых определяется соотношением внутри- и внеклеточных концентраций интересующих видов ионов. Наконец, ионные насосы представлены источниками тока ( I _p ). ^{[ необходимы разъяснения ]} Мембранный потенциал обозначается V _m .

Математически ток, текущий через липидный бислой, записывается как

${\displaystyle I_{c}=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}}$

а ток через данный ионный канал является произведением проводимости этого канала и движущего потенциала для конкретного иона.

${\displaystyle I_{i}={g_{i}}(V_{m}-V_{i})\;}$

где – реверсивный потенциал конкретного ионного канала. Таким образом, для клетки с натриевыми и калиевыми каналами полный ток через мембрану определяется выражением: ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+g_{K}(V_{m}-V_{K})+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})}$

где I - общий ток мембраны на единицу площади, C _m - емкость мембраны на единицу площади, g _K и g _Na - калиевая и натриевая проводимости на единицу площади соответственно, V _K и V _Na - потенциалы обращения калия и натрия. соответственно, а g _l и V _l — проводимость утечки на единицу площади и потенциал обращения утечки соответственно. Зависящими от времени элементами этого уравнения являются V _m , g _Na и g _K , где последние две проводимости также явно зависят от мембранного напряжения ( V _{m ).}

Характеристика ионного тока

В потенциалзависимых ионных каналах проводимость канала является функцией времени и напряжения ( на рисунке), тогда как в каналах утечки она является постоянной величиной ( на рисунке). Ток, генерируемый ионными насосами, зависит от вида ионов, специфичного для этого насоса. В следующих разделах эти составы будут описаны более подробно. ${\displaystyle g_{n}(t,V)}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle g_{L}}$

Потенциал-управляемые ионные каналы

Используя серию экспериментов с фиксированием напряжения и варьируя внеклеточные концентрации натрия и калия, Ходжкин и Хаксли разработали модель, в которой свойства возбудимой клетки описываются набором четырех обыкновенных дифференциальных уравнений . ^[1] Вместе с упомянутым выше уравнением для полного тока это:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

где I — ток на единицу площади, а — константы скорости i -го ионного канала, которые зависят от напряжения, но не от времени. – максимальное значение проводимости. n , m и h представляют собой безразмерные вероятности от 0 до 1, которые связаны с активацией субъединицы калиевого канала , активацией субъединицы натриевого канала и инактивацией субъединицы натриевого канала соответственно. Например, учитывая, что калиевые каналы в гигантском аксоне кальмара состоят из четырех субъединиц, все из которых должны находиться в открытом состоянии, чтобы канал мог проходить ионы калия, n необходимо возвести в четвертую степень. Для и примем вид ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ ${\displaystyle p=(n,m,h)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \beta _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

${\displaystyle p_{\infty }}$и представляют собой значения устойчивого состояния для активации и инактивации соответственно и обычно представляются уравнениями Больцмана как функции от . В оригинальной статье Ходжкина и Хаксли ^[1] функции и задаются формулами ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10-V)}{\exp {\big (}{\frac {10-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25-V)}{\exp {\big (}{\frac {25-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}-{\frac {V}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}-{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}-{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30-V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

где обозначает отрицательную деполяризацию в мВ. ${\displaystyle V=V_{rest}-V_{m}}$

Во многих современных программах ^[2] модели типа Ходжкина–Хаксли обобщают и ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p}}}{\big )}-D_{p}}}}$

Чтобы охарактеризовать потенциал-управляемые каналы, уравнения можно адаптировать к данным фиксации напряжения. О выводе уравнений Ходжкина – Хаксли при ограничении напряжения см. ^[3] Вкратце, когда мембранный потенциал удерживается на постоянном значении (т.е. с помощью фиксатора напряжения), для каждого значения мембранного потенциала нелинейные уравнения стробирования сводятся к уравнениям вида:

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

Таким образом, для любого значения мембранного потенциала токи натрия и калия можно описать формулой ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} }).}$

Чтобы прийти к полному решению для распространяющегося потенциала действия, необходимо записать текущий член I в левой части первого дифференциального уравнения через V , чтобы уравнение стало уравнением только для напряжения. Связь между I и V может быть получена из теории кабеля и определяется выражением

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},}$

где а — радиус аксона , R — удельное сопротивление аксоплазмы , х — положение вдоль нервного волокна. Замена этого выражения вместо I преобразует исходную систему уравнений в систему дифференциальных уравнений в частных производных , поскольку напряжение становится функцией как x , так и t .

Алгоритм Левенберга – Марквардта часто используется для согласования этих уравнений с данными фиксации напряжения. ^[4]

Хотя в первоначальных экспериментах использовались только натриевые и калиевые каналы, модель Ходжкина-Хаксли также можно расширить для учета других видов ионных каналов .

Каналы утечки

Каналы утечки учитывают естественную проницаемость мембраны для ионов и принимают форму уравнения для потенциалзависимых каналов, где проводимость является постоянной. Таким образом, ток утечки из-за пассивных ионных каналов утечки в формализме Ходжкина-Хаксли равен . ${\displaystyle g_{leak}}$ ${\displaystyle I_{l}=g_{leak}(V-V_{leak})}$

Насосы и теплообменники

Мембранный потенциал зависит от поддержания на ней градиентов концентрации ионов. Поддержание этих градиентов концентрации требует активного транспорта ионных частиц. Наиболее известны из них натрий -калий и натрий-кальций . Некоторые основные свойства Na/Ca-обменника уже хорошо известны: стехиометрия обмена составляет 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ , а обменник электрогенен и чувствителен к напряжению. Обменник Na/K также был подробно описан со стехиометрией 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ . ^{[5] [6]}

Математические свойства

Модель Ходжкина-Хаксли можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений с четырьмя переменными состояния , и , которые изменяются со временем . Систему сложно изучать, поскольку она является нелинейной системой , не может быть решена аналитически и, следовательно, не имеет решения в замкнутой форме . Однако существует множество численных методов анализа системы. Можно доказать существование определенных свойств и общего поведения, таких как предельные циклы . ${\displaystyle V_{m}(t),n(t),m(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t}$

Моделирование модели Ходжкина – Хаксли в фазовом пространстве с точки зрения напряжения v(t) и калиевой управляющей переменной n(t). Замкнутая кривая известна как предельный цикл .

Центральный коллектор

Поскольку существует четыре переменных состояния, визуализация пути в фазовом пространстве может быть затруднена. Обычно выбираются две переменные: напряжение и переменная ворота калия , позволяющая визуализировать предельный цикл . Однако следует быть осторожным, поскольку это специальный метод визуализации четырехмерной системы. Это не доказывает существования предельного цикла. ${\displaystyle V_{m}(t)}$ ${\displaystyle n(t)}$

Лучший прогноз можно построить на основе тщательного анализа якобиана системы , оцененного в точке равновесия . В частности, собственные значения якобиана указывают на существование центрального многообразия . Аналогично, собственные векторы якобиана показывают ориентацию центрального многообразия . Модель Ходжкина – Хаксли имеет два отрицательных собственных значения и два комплексных собственных значения со слегка положительными действительными частями. Собственные векторы, связанные с двумя отрицательными собственными значениями, уменьшатся до нуля с увеличением времени t . Остальные два комплексных собственных вектора определяют центральное многообразие. Другими словами, четырехмерная система коллапсирует на двухмерную плоскость. Любое решение, начинающееся с центрального многообразия, будет затухать по направлению к центральному многообразию. Более того, предельный цикл содержится в центральном многообразии.

Напряжение v ( t ) (в милливольтах) модели Ходжкина – Хаксли, построенное на графике за 50 миллисекунд. Инжектируемый ток варьируется от -5 наноампер до 12 наноампер. График проходит три стадии: стадию равновесия, стадию одного всплеска и стадию предельного цикла.

Бифуркации

Если инжектируемый ток использовался в качестве параметра бифуркации , то модель Ходжкина-Хаксли претерпевает бифуркацию Хопфа . Как и в большинстве нейронных моделей, увеличение подаваемого тока увеличит скорость срабатывания нейрона. Одним из последствий бифуркации Хопфа является наличие минимальной скорострельности. Это означает, что либо нейрон вообще не срабатывает (что соответствует нулевой частоте), либо срабатывает с минимальной частотой. Из-за принципа «все или ничего» плавного увеличения амплитуды потенциала действия не происходит , а происходит резкий «скачок» амплитуды. Получающийся переход известен как утка. ${\displaystyle I}$

Улучшения и альтернативные модели

Модель Ходжкина-Хаксли считается одним из величайших достижений биофизики XX века. Тем не менее, современные модели типа Ходжкина – Хаксли были расширены несколькими важными способами:

• Дополнительные популяции ионных каналов были включены на основе экспериментальных данных.
• Модель Ходжкина-Хаксли была модифицирована, чтобы включить теорию переходного состояния и создать термодинамические модели Ходжкина-Хаксли. ^[7]
• Модели часто включают в себя очень сложную геометрию дендритов и аксонов , часто основанную на данных микроскопии.
• Модели, основанные на проводимости, подобные модели Ходжкина-Хаксли, включают знания о типах клеток , определяемых транскриптомикой отдельных клеток. ^[8]
• Стохастические модели поведения ионных каналов, приводящие к стохастическим гибридным системам. ^[9]
• Модель Пуассона -Нерста-Планка (PNP) основана на приближении среднего поля ионных взаимодействий и континуальном описании концентрации и электростатического потенциала. ^[10]

Также было разработано несколько упрощенных нейронных моделей (таких как модель ФитцХью-Нагумо ), способствующих эффективному крупномасштабному моделированию групп нейронов, а также математическому пониманию динамики генерации потенциала действия.

Смотрите также

• Возбуждение при разрыве анода
• Автозавивка
• Нейронная цепь
• Модель Гальвеса – Лехербаха
• Уравнение потока GHK
• Уравнение Гольдмана
• Мемристор
• Нейронная аккомодация
• Реакция-диффузия
• Тета-модель
• Карта Рулькова
• Карта Кьялво

Рекомендации

1. Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (август 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению нерва». Журнал физиологии . 117 (4): 500–44. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004764. ПМК  1392413 . ПМИД  12991237.
2. Нельсон М.Е. (2005) Электрофизиологические модели в: База данных мозга: от данных к знаниям. (С. Козлоу и С. Субраманиам, ред.) Wiley, Нью-Йорк, стр. 285–301.
3. Грей DJ, Ву СМ (1997). Основы клеточной нейрофизиологии (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-10053-3.
4. Крапивин, Владимир Ф.; Вароцос, Костас А.; Солдатов Владимир Юрьевич. (2015). Новые инструменты экоинформатики в науке об окружающей среде: приложения и принятие решений. Спрингер. стр. 37–38. ISBN 9783319139784.
5. Раковски Р.Ф., Гэдсби, округ Колумбия, Де Вир П. (май 1989 г.). «Стехиометрия и зависимость напряжения натриевого насоса в зажатом по напряжению, внутренне диализируемом аксоне гигантского кальмара». Журнал общей физиологии . 93 (5): 903–41. дои : 10.1085/jgp.93.5.903. ПМК 2216238 . ПМИД  2544655. 
6. Хилле Б (2001). Ионные каналы возбудимых мембран (3-е изд.). Сандерленд, Массачусетс: Синауэр. ISBN 978-0-87893-321-1.
7. Форрест, доктор медицины (май 2014 г.). «Может ли термодинамическая модель зависимой от напряжения проводимости экстраполироваться на температуру?» (PDF) . Вычисление . 2 (2): 47–60. дои : 10.3390/computation2020047 .
8. Нанди, Анирбан; Шартран, Томас; Ван Гейт, Вернер; Бучин, Анатолий; Яо, Цзычжэнь; Ли, Су Юн; Вэй, Ина; Калмбах, Брайан; Ли, Брайан; Лейн, Эд; Берг, Джим; Сюмбюль, Уйгар; Кох, Кристоф; Ташич, Босилька; Анастасиу, Костас А. (9 августа 2022 г.). «Модели одного нейрона, связывающие электрофизиологию, морфологию и транскриптомику типов корковых клеток». Отчеты по ячейкам . 40 (6): 111176. doi : 10.1016/j.celrep.2022.111176 . ISSN  2211-1247. ПМЦ 9793758 . PMID  35947954. S2CID  215790820. 
9. Пакдаман, К.; Тиуллен, М.; Вайнриб, Г. (2010). «Предельные теоремы о жидкости для стохастических гибридных систем с применением к моделям нейронов». Адв. Прил. Вероятно . 42 (3): 761–794. arXiv : 1001.2474 . Бибкод : 2010arXiv1001.2474P. дои : 10.1239/aap/1282924062. S2CID  18894661.
10. Чжэн, К.; Вэй, GW (май 2011 г.). «Модель Пуассона-Больцмана-Нернста-Планка». Журнал химической физики . 134 (19): 194101. Бибкод : 2011JChPh.134s4101Z. дои : 10.1063/1.3581031. ПМК 3122111 . ПМИД  21599038. 

дальнейшее чтение

• Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Токи, переносимые ионами натрия и калия через мембрану гигантского аксона Лолиго». Журнал физиологии . 116 (4): 449–72. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004717. ПМЦ  1392213 . ПМИД  14946713.
• Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Компоненты мембранной проводимости гигантского аксона Лолиго». Журнал физиологии . 116 (4): 473–96. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004718. ПМК  1392209 . ПМИД  14946714.
• Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Двойное влияние мембранного потенциала на натриевую проводимость в гигантском аксоне Лолиго». Журнал физиологии . 116 (4): 497–506. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004719. ПМЦ  1392212 . ПМИД  14946715.
• Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (август 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению нерва». Журнал физиологии . 117 (4): 500–44. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004764. ПМК  1392413 . ПМИД  12991237.
• Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф., Кац Б. (апрель 1952 г.). «Измерение вольт-амперных отношений в мембране гигантского аксона Лолиго». Журнал физиологии . 116 (4): 424–48. doi : 10.1113/jphysical.1952.sp004716. ПМЦ  1392219 . ПМИД  14946712.

Внешние ссылки

• Интерактивное моделирование модели HH на языке Javascript. Работает в любом браузере с поддержкой HTML5. Позволяет изменять параметры модели и подачу тока.
• Интерактивный Java-апплет модели HH. Параметры модели могут быть изменены, а также возможны параметры возбуждения и построение фазовых пространств всех переменных.
• Прямая ссылка на модель Ходжкина-Хаксли и описание в базе данных BioModels.
• Нейронные импульсы: потенциал действия в действии Гаррет Неске, Демонстрационный проект Wolfram
• Интерактивная модель Ходжкина – Хаксли Шимона Марома, Демонстрационный проект Вольфрама
• ModelDB База данных исходного кода вычислительной нейронауки, содержащая 4 версии (в разных симуляторах) исходной модели Ходжкина-Хаксли и сотни моделей, которые применяют модель Ходжкина-Хаксли к другим каналам во многих типах электрически возбудимых клеток.
• Несколько статей о стохастической версии модели и ее связи с исходной.