Модель рынка LIBOR

Модель рынка LIBOR , также известная как модель BGM ( модель Брейса Гатарека Мусиелы , в честь имен некоторых изобретателей) — это финансовая модель процентных ставок . ^[1] Она используется для ценообразования процентных деривативов , особенно экзотических деривативов, таких как бермудские свопционы, храповые кэпы ​​и полы, целевые выкупные ноты, автокэпы, свопционы с нулевым купоном, свопы с постоянным сроком погашения и спредовые опционы, среди многих других. Моделируемые величины, а не краткосрочная ставка или мгновенные форвардные ставки (как в рамках Хита–Джарроу–Мортона ), представляют собой набор форвардных ставок (также называемых форвардными LIBOR ), которые имеют то преимущество, что их можно напрямую наблюдать на рынке, и волатильность которых естественным образом связана с торгуемыми контрактами. Каждая форвардная ставка моделируется логнормальным процессом в рамках ее форвардной меры , т. е. модель Блэка, приводящая к формуле Блэка для лимитов процентных ставок . Эта формула является рыночным стандартом для котировки цен капитализации в терминах подразумеваемой волатильности, отсюда и термин «рыночная модель». Модель рынка LIBOR может быть интерпретирована как набор динамики форвардной LIBOR для различных форвардных ставок с охватывающими сроками и сроками погашения, причем каждая форвардная ставка соответствует формуле каплета процентной ставки Блэка для ее канонического срока погашения. Можно записать динамику различных ставок в рамках общей меры ценообразования , например, форвардной меры для предпочтительной единой зрелости, и в этом случае форвардные ставки не будут логнормальными в рамках уникальной меры в целом, что приводит к необходимости численных методов, таких как моделирование Монте-Карло , или приближений, таких как предположение о замороженном дрейфе.

Модель динамическая

Рынок LIBOR моделирует набор форвардных ставок , как логнормальные процессы. При соответствующей мере -Forward ^[2] Здесь мы можем рассмотреть, что (центрированный процесс). Здесь, - форвардная ставка за период . Для каждой отдельной форвардной ставки модель соответствует модели Блэка. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle Q_{T_{j+1}}}$ $${\displaystyle dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t).}$$ ${\displaystyle \mu _{j}(t)=0,\forall t}$ ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle [T_{j},T_{j+1}]}$

Новизна заключается в том, что в отличие от модели Блэка , модель рынка LIBOR описывает динамику целого семейства форвардных ставок под общей мерой. Теперь вопрос в том, как переключаться между различными мерами -Forward. С помощью многомерной теоремы Гирсанова можно показать ^{[3] [4],} что и ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\end{cases}}}$$ $${\displaystyle dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}}$$

Ссылки

1. М. Мусиела, М. Рутковски: Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
2. "Путеводитель по практике финансов - брошюра - Оливье Дреан - Achat Livre | fnac" . Архивировано из оригинала 09.11.2018.
3. Д. Папаиоанну (2011): «Прикладная многомерная теорема Гирсанова», SSRN
4. "Дополнение к курсу по моделированию процентных ставок: с обсуждением моделей Black-76, Vasicek и HJM и кратким введением в многомерную модель рынка LIBOR"

Литература

• Брейс, А., Гатарек, Д. и Мусиела, М. (1997): «Рыночная модель динамики процентных ставок», Математические финансы, 7(2), 127-154.
• Мильтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д., (1997): «Решения в закрытой форме для производных инструментов временной структуры с логнормальными процентными ставками», Журнал финансов, 52(1), 409-430.
• Вернц, Дж. (2020): «Управление и контроль банка», Springer Nature, 85-88

Внешние ссылки

• Java-апплеты для ценообразования по рыночной модели LIBOR и методам Монте-Карло
• Исходный код Jave и электронная таблица модели рынка LIBOR, включая калибровку для свопциона и оценку продукта
• Конспект лекций Дамиано Бриго по модели рынка LIBOR для курса по инструментам с фиксированным доходом в Университете Боккони