Элементарная ячейка

Повторяющаяся единица, образованная векторами, охватывающими точки решетки.

В геометрии , биологии , минералогии и физике твердого тела элементарная ячейка — это повторяющаяся единица, образованная векторами, охватывающими точки решетки. ^[1] Несмотря на свое многозначительное название, элементарная ячейка (в отличие, например, от единичного вектора) не обязательно имеет единичный размер или даже какой-либо определенный размер. Скорее, примитивная ячейка является ближайшей аналогией единичного вектора, поскольку она имеет определенный размер для данной решетки и является основным строительным блоком, из которого строятся более крупные ячейки.

Эта концепция используется, в частности, при описании кристаллической структуры в двух и трех измерениях, хотя она имеет смысл во всех измерениях. Решетка может быть охарактеризована геометрией ее элементарной ячейки, которая является сечением мозаики ( параллелограмма или параллелепипеда ), которое генерирует всю мозаику, используя только трансляции.

Существует два особых случая элементарной ячейки: примитивная ячейка и условная ячейка . Примитивная ячейка — это элементарная ячейка, соответствующая одной точке решетки , это наименьшая возможная элементарная ячейка. ^[2] В некоторых случаях полная симметрия кристаллической структуры не очевидна из примитивной ячейки, в таких случаях может использоваться условная ячейка. Обычная ячейка (которая может быть или не быть примитивной) — это элементарная ячейка с полной симметрией решетки и может включать более одной точки решетки. Обычные элементарные ячейки — это параллелотопы в n измерениях.

Примитивная клетка

Примитивная ячейка — это ячейка, которая содержит ровно одну точку решетки. Для ячеек, как правило, точки решетки, которые являются общими для n ячеек, считаются ⁠1/н⁠ точек решетки, содержащихся в каждой из этих ячеек; так, например, примитивная элементарная ячейка в трех измерениях, которая имеет точки решетки только в своих восьми вершинах, считается содержащей ⁠1/8⁠ каждого из них. ^[3] Альтернативная концептуализация заключается в последовательном выборе только одной из n точек решетки, принадлежащей данной элементарной ячейке (так, чтобы остальные n-1 точек решетки принадлежали соседним элементарным ячейкам).

Векторы примитивного трансляции a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ охватывают ячейку решетки наименьшего объема для конкретной трехмерной решетки и используются для определения вектора трансляции кристалла.

${\displaystyle {\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},}$

где u ₁ , u ₂ , u ₃ — целые числа, трансляция которых оставляет решетку инвариантной. ^{[примечание 1]} То есть, для точки в решетке r расположение точек выглядит таким же из r′ = r + T → , как и из r . ^[4]

Поскольку примитивная ячейка определяется примитивными осями (векторами) a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ , объем V _p примитивной ячейки определяется параллелепипедом из вышеуказанных осей как

${\displaystyle V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.}$

Обычно примитивные ячейки в двух и трех измерениях выбираются в форме параллелограммов и параллелепипедов, с атомом в каждом углу ячейки. Этот выбор примитивной ячейки не является уникальным, но объем примитивных ячеек всегда будет задаваться выражением выше. ^[5]

Ячейка Вигнера-Зейтца

В дополнение к примитивным ячейкам в виде параллелепипеда, для каждой решетки Бравэ существует другой тип примитивной ячейки, называемый ячейкой Вигнера–Зейтца. В ячейке Вигнера–Зейтца точка решетки находится в центре ячейки, и для большинства решеток Бравэ форма не является параллелограммом или параллелепипедом. Это тип ячейки Вороного . Ячейка Вигнера–Зейтца обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .

Обычная ячейка

Для каждой конкретной решетки кристаллографы выбирали условную ячейку в каждом конкретном случае на основе удобства расчета. ^[6] Эти условные ячейки могут иметь дополнительные точки решетки, расположенные в середине граней или тела элементарной ячейки. Количество точек решетки, а также объем условной ячейки являются целым кратным (1, 2, 3 или 4) объема примитивной ячейки. ^[7]

Два измерения

Параллелограмм является общей примитивной ячейкой плоскости.

Для любой двумерной решетки элементарные ячейки являются параллелограммами , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, равные длины или и то, и другое. Четыре из пяти двумерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Центрированная прямоугольная решетка также имеет примитивную ячейку в форме ромба, но для того, чтобы обеспечить легкое различение на основе симметрии, она представлена ​​обычной ячейкой, содержащей две точки решетки.

Три измерения

Параллелепипед — это общая примитивная ячейка трехмерного пространства.

Для любой трехмерной решетки обычные элементарные ячейки — это параллелепипеды , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, или равные длины, или и то, и другое. Семь из четырнадцати трехмерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Остальные семь решеток Браве (известные как центрированные решетки) также имеют примитивные ячейки в форме параллелепипеда, но для того, чтобы обеспечить легкую дискриминацию на основе симметрии, они представлены обычными ячейками, которые содержат более одной точки решетки.

Смотрите также

• Ячейка Вигнера-Зейтца
• решетка Бравэ
• Группа обоев
• Космическая группа

Примечания

1. В n измерениях вектор трансляции кристалла будет

   ${\displaystyle {\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.}$

   То есть для точки в решетке r расположение точек выглядит таким же из r′ = r + T → , как и из r .

Ссылки

1. Эшкрофт, Нил В. (1976). "Глава 4". Физика твердого тела . WB Saunders Company. стр. 72. ISBN 0-03-083993-9.
2. Саймон, Стивен (2013). Оксфордская физика твердого тела (1-е изд.). Oxford University Press. стр. 114. ISBN 978-0-19-968076-4.
3. "DoITPoMS – TLP Library Crystallography – Unit Cell". Онлайн-ресурсы для изучения материаловедения: DoITPoMS . Кембриджский университет . Получено 21 февраля 2015 г.
4. Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Wiley. стр. 4. ISBN 978-0-471-41526-8.
5. Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: Часть 1». Computational Materials Science . 136 . Elsevier BV: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . doi :10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN  0927-0256. S2CID  119490841.
6. Аройо, MI, ред. (2016-12-31). Международные таблицы по кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. стр. 25. doi :10.1107/97809553602060000114. ISBN 978-0-470-97423-0.
7. Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого тела . WB Saunders Company. стр. 73. ISBN 0-03-083993-9.