Глоссарий групп Ли и алгебр Ли

Это глоссарий терминологии, применяемой в математических теориях групп Ли и алгебр Ли . Для тем в теории представлений групп Ли и алгебр Ли см. Глоссарий теории представлений . Из-за отсутствия других вариантов глоссарий также включает некоторые обобщения, такие как квантовая группа .

Обозначения :

В глоссарии обозначает скалярное произведение евклидова пространства E , а обозначает перемасштабированное скалярное произведение ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle ={\frac {(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\,\forall \alpha ,\beta \in E.}$

А

абелев

1. Абелева группа Ли — это группа Ли, являющаяся абелевой группой.

2. Абелева алгебра Ли — это алгебра Ли, такая что для любого из алгебры. ${\displaystyle [x,y]=0}$ ${\displaystyle x,y}$

примыкающий

1. Присоединенное представление группы Ли :

${\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$

такой, что является дифференциалом в единичном элементе сопряжения . ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ${\displaystyle c_{g}:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}}$

2. Присоединенное представление алгебры Ли — это представление алгебры Ли

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$где . ${\displaystyle {\textrm {ad}}(x)y=[x,y]}$

Адо

Теорема Адо : Любая конечномерная алгебра Ли изоморфна подалгебре для некоторого конечномерного векторного пространства V. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{V}}$

аффинный

1. Аффинная алгебра Ли — это частный тип алгебры Каца–Муди.

2. Аффинная группа Вейля .

аналитический

1. Аналитическая подгруппа

автоморфизм

1. Автоморфизм алгебры Ли — это линейный автоморфизм, сохраняющий скобку.

Б

Б

1.   (Б, Н) пара

Борель

1.   Арман Борель (1923 – 2003), швейцарский математик

2. Подгруппа Бореля .

3. Подалгебра Бореля — это максимальная разрешимая подалгебра.

4.   Теорема Бореля-Ботта-Вейля

Брюа

1.   Разложение Брюа

С

Картан

1.   Эли Картан (1869 – 1951), французский математик

2. Подалгебра Картана алгебры Ли — это нильпотентная подалгебра, удовлетворяющая . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$

3.   Критерий разрешимости Картана : Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$

4.   Критерий Картана для полупростоты : (1) Если является невырожденным, то является полупростым. (2) Если является полупростым и основное поле имеет характеристику 0, то является невырожденным. ${\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}$

5. Матрица Картана корневой системы — это матрица , где — набор простых корней . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle )_{i,j=1}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$

6.   Подгруппа Картана

7.   Разложение Картана

Казимир

Инвариант Казимира , выдающийся элемент универсальной обёртывающей алгебры.

Коэффициенты Клебша–Гордана

Коэффициенты Клебша–Гордана

центр

2. Централизатором подмножества алгебры Ли является . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}(X):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,X]=\{0\}\}}$

центр

1. Центр группы Ли является центром группы.

2. Центр алгебры Ли является ее централизатором: ${\displaystyle Z(L):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,{\mathfrak {g}}]=0\}}$

центральная серия

1. Нисходящий центральный ряд (или нижний центральный ряд) — это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая соотношением ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=[L,L],\,C^{n+1}(L)=[L,C^{n}(L)]}$

2. Возрастающий центральный ряд (или верхний центральный ряд) — это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая соотношением (центр L) , , где — естественный гомоморфизм ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C_{0}(L)=\{0\},\,C_{1}(L)=Z(L)}$ ${\displaystyle C_{n+1}(L)=\pi _{n}^{-1}(Z(L/C_{n}(L)))}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle L\to L/C_{n}(L)}$

Шевалье

1.   Клод Шевалле (1909 – 1984), французский математик

2. Базис Шевалле — это базис, построенный Клодом Шевалле , обладающий свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , называемых группами Шевалле .

комплексная группа отражения

комплексная группа отражения

coroot

coroot

Коксетер

1.   Х. С. М. Коксетер (1907 – 2003), канадский геометр британского происхождения

2.   Группа Коксетера

3.   Число Кокстера

Д

производная алгебра

1. Производная алгебра алгебры Ли — это . Это подалгебра (фактически идеал). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

2. Производный ряд — это последовательность идеалов алгебры Ли, полученная путем многократного взятия производных алгебр, т. е . . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},D^{n}{\mathfrak {g}}=D^{n-1}{\mathfrak {g}}}$

Дынкин

1. Евгений Борисович Дынкин (1924 – 2014), советский и американский математик.

2.  

Диаграммы Дынкина

Диаграммы Дынкина .

Э

расширение

Точная последовательность или называется расширением алгебры Ли с помощью . ${\displaystyle 0\to {\mathfrak {g}}'\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}''\to 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}''}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$

экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для группы Ли G с — это отображение , которое не обязательно является гомоморфизмом, но удовлетворяет некоторому универсальному свойству. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$

экспоненциальный

E6 , E7 , E7½ , E8 , En , Исключительная алгебра Ли

Ф

свободная алгебра Ли

Ф

Ф4

фундаментальный

Для « фундаментальной камеры Вейля » см. #Weyl.

Г

Г

Г2

обобщенный

1. Для « Обобщенной матрицы Картана » см. #Cartan.

2. Для « Обобщенной алгебры Каца–Муди » см. #Алгебра Каца–Муди.

3. Для « Обобщенного модуля Вермы » см. #Verma.

группа

Групповой анализ дифференциальных уравнений .

ЧАС

гомоморфизм

1. Гомоморфизм групп Ли — это гомоморфизм групп, который также является гладким отображением.

2. Гомоморфизм алгебры Ли — это линейное отображение , такое что ${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\,\forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Хариш-Чандра

1.   Хариш-Чандра (1923 – 1983), индийско-американский математик и физик

2.   Гомоморфизм Хариша-Чандры

3.   Изоморфизм Хариша-Чандры

самый высокий

1. Теорема о наибольшем весе , утверждающая, что наибольшие веса классифицируют неприводимые представления.

2.   наибольший вес

3.   модуль с наибольшим весом

я

идеальный

Идеалом алгебры Ли называется подпространство , в котором В отличие от теории колец, левый идеал неразличим от правого идеала. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}$

индекс

Индекс алгебры Ли

инвариантный выпуклый конус

Инвариантный выпуклый конус — замкнутый выпуклый конус в алгебре Ли связной группы Ли, инвариантный относительно внутренних автоморфизмов.

Разложение Ивасавы

Разложение Ивасавы

Дж.

тождество Якоби

1.  

Карл Густав Якоб Якоби

Карл Густав Якоб Якоби (1804 – 1851), немецкий математик.

2. Для бинарной операции тождество Якоби гласит : [[ x , y ], z ] + [[ y , z ], x ] + [[ z , x ], y ] = 0. ${\displaystyle [\cdot ,\,\cdot ]:V^{2}\to V}$

К

Алгебра Каца–Муди

Алгебра Каца–Муди

Убийство

1.   Вильгельм Киллинг (1847 – 1923), немецкий математик.

2. Форма Киллинга на алгебре Ли — это симметричная, ассоциативная, билинейная форма, определяемая соотношением . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \kappa (x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}\,x\,{\textrm {ad}}\,y)\ \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}$

Кириллов

формула характера Кириллова

Л

Ленглендс

Разложение Ленглендса

Двойственный Лэнглендс

Ложь

1.  

Софус Ли

Софус Ли (1842 – 1899), норвежский математик

2. Группа Ли — это группа, имеющая совместимую структуру гладкого многообразия.

3. Алгебра Ли — это векторное пространство над полем с бинарной операцией [·, ·] (называемой скобкой Ли или сокр. скобкой ), которая удовлетворяет следующим условиям: , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \forall a,b\in F,x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$

1. ${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]}$( билинейность )
2. ${\displaystyle [x,x]=0}$( попеременно )
3. ${\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}$( тождество Якоби )

4.   Соответствие группа Ли–алгебра Ли

5.   Теорема Ли

Пусть — конечномерная комплексная разрешимая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики , и пусть — ненулевое конечномерное представление . Тогда существует элемент , который является одновременным собственным вектором для всех элементов . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

6.   Компактная группа Ли .

7.   Полупростая группа Ли ; см. #полупростая.

Леви

Разложение Леви

Н

нильпотентный

1. Нильпотентная группа Ли .

2. Нильпотентная алгебра Ли — это алгебра Ли, которая нильпотентна как идеал, т. е. некоторая степень равна нулю: . ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},\dots ,[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\dots ]]]=0}$

3. Нильпотентным элементом полупростой алгебры Ли ^[1] называется элемент x, такой что присоединенный эндоморфизм является нильпотентным эндоморфизмом. ${\displaystyle ad_{x}}$

4. Нильпотентный конус

нормализатор

Нормализатор подпространства алгебры Ли — это . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle N_{\mathfrak {g}}(K):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,K]\subseteq K\}}$

М

максимальный

1. Для « максимальной компактной подгруппы » см. #compact.

2. Для « максимального тора » см. #torus.

П

параболический

1.   Параболическая подгруппа

2.   Параболическая подалгебра .

положительный

Для « положительного корня » см. #положительный.

В

квантовый

квантовая группа .

квантованный

квантованная обертывающая алгебра .

Р

радикальный

1. Радикал группы Ли.

2. Радикал алгебры Ли — это наибольший (т.е. единственный максимальный) разрешимый идеал алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

настоящий

реальная форма .

редукционный

1. Редукционная группа .

2. Редуктивная алгебра Ли .

отражение

Группа отражений , группа, созданная отражениями.

обычный

1. Регулярный элемент алгебры Ли .

2. Регулярный элемент относительно корневой системы.

Пусть — корневая система. называется правильной, если . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \gamma \in E}$ ${\displaystyle (\gamma ,\alpha )\neq 0\,\forall \gamma \in \Phi }$

Для каждого набора простых корней существует регулярный элемент такой, что , и наоборот, для каждого регулярного существует единственный набор базовых корней такой, что предыдущее условие выполняется для . Его можно определить следующим образом: пусть . Назовем элемент разложимым , если где , тогда — множество всех неразложимых элементов ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \gamma \in E}$ ${\displaystyle (\gamma ,\alpha )>0\,\forall \gamma \in \Delta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta (\gamma )}$ ${\displaystyle \Delta =\Delta (\gamma )}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )=\{\alpha \in \Phi |(\alpha ,\gamma )>0\}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$ ${\displaystyle \alpha ',\alpha ''\in \Phi ^{+}(\gamma )}$ ${\displaystyle \Delta (\gamma )}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}$

корень

1.   корень полупростой алгебры Ли :

Пусть — полупростая алгебра Ли, — подалгебра Картана алгебры . Для , пусть . называется корнем алгебры , если он отличен от нуля и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}:=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,\forall h\in {\mathfrak {h}}\}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}\neq \{0\}}$

Множество всех корней обозначается как  ; оно образует корневую систему. ${\displaystyle \Phi }$

2.   Корневая система

Подмножество евклидова пространства называется корневой системой, если оно удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle \Phi }$конечно, и . ${\displaystyle {\textrm {span}}(\Phi )=E}$ ${\displaystyle 0\notin \Phi }$
• Для всех и , тогда и только тогда . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle c=\pm 1}$
• Для всех — целое число. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$
• Для всех , , где есть отражение относительно гиперплоскости, нормальной к , т.е. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle S_{\alpha }(\beta )\in \Phi }$ ${\displaystyle S_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S_{\alpha }(x)=x-\langle x,\alpha \rangle \alpha }$

3.   Корневой элемент данных

4. Положительным корнем корневой системы относительно множества простых корней называется корень , который является линейной комбинацией элементов с неотрицательными коэффициентами. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

5. Отрицательным корнем корневой системы относительно множества простых корней называется корень , который является линейной комбинацией элементов с неположительными коэффициентами. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

6. длинный корень

7. короткий корень

8. обратная корневая система: Дана корневая система . Определим , называется обратной корневой системой. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ^{v}={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$ ${\displaystyle \Phi ^{v}=\{\alpha ^{v}|\alpha \in \Phi \}}$

${\displaystyle \Phi ^{v}}$снова является корневой системой и имеет ту же группу Вейля, что и . ${\displaystyle \Phi }$

9. основание корневой системы: синоним «набора простых корней»

10. двойник корневой системы: синоним «обратной корневой системы»

С

Серр

Теорема Серра утверждает, что для заданной (конечной приведенной) корневой системы существует единственная (с точностью до выбора базы) полупростая алгебра Ли, корневая система которой равна . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

простой

1. Простая группа Ли — это связная группа Ли, которая не является абелевой и не имеет нетривиальных связных нормальных подгрупп.

2. Простая алгебра Ли — это алгебра Ли, которая не является абелевой и имеет только два идеала: себя и . ${\displaystyle \{0\}}$

3.   просто ажурная группа (простая группа Ли является просто ажурной, если ее диаграмма Дынкина не имеет кратных ребер).

4.   простой корень . Подмножество корневой системы называется множеством простых корней, если оно удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi }$

• ${\displaystyle \Delta }$является линейным базисом . ${\displaystyle E}$
• Каждый элемент представляет собой линейную комбинацию элементов с коэффициентами, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

5. Классификация простых алгебр Ли

Классические алгебры Ли :

Исключительные алгебры Ли :

полупростой

1. Полупростая группа Ли

2. Полупростая алгебра Ли — это ненулевая алгебра Ли, не имеющая ненулевого абелева идеала.

3. В полупростой алгебре Ли элемент является полупростым, если его образ при присоединенном представлении является полупростым; см. Полупростая алгебра Ли#Разложение Жордана .

разрешимый

1. Разрешимая группа Ли

2. Разрешимая алгебра Ли — это алгебра Ли, такая что для некоторого ; где обозначает производную алгебру . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D^{n}{\mathfrak {g}}=0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

расколоть

Штифель

Диаграмма Штифеля компактной связной группы Ли.

подалгебра

Подпространство алгебры Ли называется подалгеброй, если оно замкнуто скобками, т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g'}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}$

Т

Сиськи

Сиськи конусные .

торальный

1.   торическая алгебра Ли

2. максимальная торическая подалгебра

У

• Унитарный трюк

В

• Модуль Верма

Вт

Вейль

1.   Герман Вейль (1885 – 1955), немецкий математик

2. Камера Вейля — одна из связных компонент дополнения в V , действительном векторном пространстве, на котором определяется корневая система, когда гиперплоскости, ортогональные корневым векторам, удалены.

3. Формула характеров Вейля дает в замкнутом виде характеры неприводимых комплексных представлений простых групп Ли.

4.   Группа Вейля : Группа Вейля корневой системы — это (обязательно конечная) группа ортогональных линейных преобразований, которая порождается отражениями относительно гиперплоскостей, нормальных к корням ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Phi }$

Ссылки

1. Примечание редакции: определение нильпотентного элемента в общей алгебре Ли кажется неясным.

• Бурбаки, Н. (1981), Группы и алгебры лжи , Элементы математики, Герман
• Эрдманн, Карин и Уайлдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0 
• Хамфрис, Джеймс Э. Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Второе издание, переработанное. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. ISBN 0-387-90053-5 
• Якобсон, Натан , Алгебры Ли , Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4 
• Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8.
• Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представления , Springer, ISBN 9780387260402 . 
• Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.
• Ж.-П. Серр, «Алгебры Ли и группы Ли», Бенджамин (1965) (перевод с французского)