Модуль сдвига

Отношение напряжения сдвига к деформации сдвига

Сдвиговая деформация

В материаловедении модуль сдвига или модуль жесткости , обозначаемый G , а иногда S или μ , является мерой упругой жесткости материала при сдвиге и определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига : ^[1]

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

где

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$= напряжение сдвига

${\displaystyle F}$это сила, которая действует

${\displaystyle A}$это площадь, на которую действует сила

${\displaystyle \gamma _{xy}}$= деформация сдвига. В инженерном деле , где-то еще ${\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta }$ ${\displaystyle :=\theta }$

${\displaystyle \Delta x}$поперечное смещение

${\displaystyle l}$— начальная длина области.

Производной единицей модуля сдвига в системе СИ является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Его размерная форма равна M ¹ L ⁻¹ T ⁻² , где сила заменена на массу , умноженную на ускорение .

Объяснение

Модуль сдвига является одной из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука :

• Модуль Юнга E описывает реакцию материала на деформацию на одноосное напряжение в направлении этого напряжения (например, натягивание концов проволоки или помещение груза на вершину колонны, при этом проволока становится длиннее, а колонна теряет высоту).
• коэффициент Пуассона ν описывает реакцию в направлениях, ортогональных этому одноосному напряжению (проволока становится тоньше, а столбик толще),
• модуль объемного сжатия K описывает реакцию материала на (равномерное) гидростатическое давление (например, давление на дне океана или в глубоком бассейне),
• модуль сдвига G описывает реакцию материала на напряжение сдвига (например, разрезание его тупыми ножницами).

Эти модули не являются независимыми и для изотропных материалов связаны уравнениями ^[9]

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

Модуль сдвига связан с деформацией твердого тела, когда на него действует сила, параллельная одной из его поверхностей, в то время как на его противоположную сторону действует противодействующая сила (например, трение). В случае объекта, имеющего форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед . Анизотропные материалы, такие как дерево , бумага , а также практически все монокристаллы, демонстрируют различную реакцию материала на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одним из возможных определений жидкости может быть материал с нулевым модулем сдвига.

Поперечные волны

Влияние добавок отдельных компонентов стекла на модуль сдвига конкретного базового стекла. ^[10]

В однородных и изотропных твердых телах существуют два типа волн: волны давления и поперечные волны . Скорость поперечной волны контролируется модулем сдвига, ${\displaystyle (v_{s})}$

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

где

G — модуль сдвига

${\displaystyle \rho }$– плотность твердого тела .

Модуль сдвига металлов

Модуль сдвига меди как функция температуры. Экспериментальные данные ^{[11] [12]} показаны цветными символами.

Обычно наблюдается уменьшение модуля сдвига металлов с повышением температуры. При высоких давлениях модуль сдвига также увеличивается с увеличением приложенного давления. Корреляции между температурой плавления, энергией образования вакансий и модулем сдвига наблюдались во многих металлах. ^[13]

Существует несколько моделей, которые пытаются предсказать модуль сдвига металлов (и, возможно, сплавов). Модели модуля сдвига, которые использовались в расчетах пластического течения, включают:

1. модель модуля сдвига MTS, разработанная ^[14] и используемая совместно с моделью напряжения пластического течения «Механическое пороговое напряжение» (MTS). ^{[15] [16]}
2. модель модуля сдвига Стейнберга-Кокрана-Гинана (SCG), разработанная в ^[17] и используемая совместно с моделью напряжения течения Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда (SCGL).
3. модель модуля сдвига Надаля и ЛеПоака (NP) ^[12] , которая использует теорию Линдеманна для определения температурной зависимости, и модель SCG для зависимости модуля сдвига от давления.

Модель МТС

Модель модуля сдвига МТС имеет вид:

${\displaystyle \mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}}$

где – модуль сдвига при , и – константы материала. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T=0K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle T_{0}}$

Модель СКГ

Модель модуля сдвига Стейнберга-Кокрана-Гинана (SCG) зависит от давления и имеет вид

${\displaystyle \mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}}$

где µ ₀ — модуль сдвига в исходном состоянии ( T = 300 К, p = 0, η = 1), p — давление, T — температура.

НП-модель

Модель модуля сдвига Надаля-Ле Поака (NP) представляет собой модифицированную версию модели SCG. Эмпирическая температурная зависимость модуля сдвига в модели SCG заменена уравнением, основанным на теории плавления Линдемана . Модель модуля сдвига NP имеет вид:

${\displaystyle \mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],}$

µ ₀ — модуль сдвига при абсолютном нуле и окружающем давлении, ζ — площадь, m — атомная масса , а f — постоянная Линдемана .

Модуль сдвиговой релаксации

Модуль сдвиговой релаксации представляет собой зависящее от времени обобщение модуля сдвига ^[18] : ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$.

Смотрите также

• Тензор упругости
• Динамический модуль
• Техника импульсного возбуждения
• Прочность на сдвиг
• Сейсмический момент

Рекомендации

1. ИЮПАК , Сборник химической терминологии , 2-е изд. («Золотая книга») (1997). Исправленная онлайн-версия: (2006–) «Модуль сдвига, G». дои :10.1351/goldbook.S05635
2. Макскимин, HJ; Андреатч, П. (1972). «Модули упругости алмаза как функция давления и температуры». Дж. Прил. Физ . 43 (7): 2944–2948. Бибкод : 1972JAP....43.2944M. дои : 10.1063/1.1661636.
3. Crandall, Даль, Ларднер (1959). Введение в механику твердого тела . Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-013441-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Рейн, Дж. А. (1961). «Упругие константы железа от 4,2 до 300°К». Физический обзор . 122 (6): 1714–1716. Бибкод : 1961PhRv..122.1714R. дои : 10.1103/PhysRev.122.1714.
5. Свойства материала
6. Спанос, Пит (2003). «Влияние системы отверждения на низкотемпературный динамический модуль сдвига натурального каучука». Резиновый мир .
7. Hoek, Эверт и Джонатан Д. Брей. Проектирование скальных склонов. ЦРК Пресс, 1981.
8. Паризо, Уильям Г. Анализ конструкции в механике горных пород. ЦРК Пресс, 2017.
9. [Ландау Л.Д., Лифшиц Э.М. Теория упругости , вып. 7. Курс теоретической физики. (2-е изд.) Пергамон: Оксфорд, 1970, стр. 13]
10. Расчет модуля сдвига стекол.
11. Овертон, В.; Гаффни, Джон (1955). «Температурное изменение упругих констант кубических элементов. I. Медь». Физический обзор . 98 (4): 969. Бибкод : 1955PhRv...98..969O. doi : 10.1103/PhysRev.98.969.
12. Надаль, Мари-Элен; Ле Поак, Филипп (2003). «Непрерывная модель модуля сдвига как функция давления и температуры до точки плавления: анализ и ультразвуковая проверка». Журнал прикладной физики . 93 (5): 2472. Бибкод : 2003JAP....93.2472N. дои : 10.1063/1.1539913.
13. Марч, Нью-Хэмпшир, (1996), Электронная корреляция в молекулах и конденсированных фазах, Springer, ISBN 0-306-44844-0 стр. 363 
14. Варшни, Ю. (1970). «Температурная зависимость упругих констант». Физический обзор B . 2 (10): 3952–3958. Бибкод : 1970PhRvB...2,3952В. doi : 10.1103/PhysRevB.2.3952.
15. Чен, Шу Ронг; Грей, Джордж Т. (1996). «Основное поведение тантала и тантал-вольфрамовых сплавов». Металлургические и сырьевые операции А . 27 (10): 2994. Бибкод : 1996MMTA...27.2994C. дои : 10.1007/BF02663849. S2CID  136695336.
16. Гото, DM; Гарретт, РК; Бингерт, Дж. Ф.; Чен, СР; Грей, GT (2000). «Описание модели конститутивной прочности механического порогового напряжения стали HY-100» (PDF) . Металлургические и сырьевые операции А . 31 (8): 1985–1996. Бибкод : 2000ММТА...31.1985Г. дои : 10.1007/s11661-000-0226-8. S2CID  136118687. Архивировано из оригинала 25 сентября 2017 года.
17. Гинан, М; Стейнберг, Д. (1974). «Производные изотропного поликристаллического модуля сдвига по давлению и температуре для 65 элементов». Журнал физики и химии твердого тела . 35 (11): 1501. Бибкод : 1974JPCS...35.1501G. дои : 10.1016/S0022-3697(74)80278-7.
18. Рубинштейн, Майкл, 20 декабря 1956 г. (2003). Физика полимеров . Колби, Ральф Х. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 284. ИСБН 019852059X. ОСЛК  50339757.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)