Модульная группа

В математике модулярная группа — это проективная специальная линейная группа матриц размера 2 × 2 с целыми коэффициентами и определителем 1. Матрицы $A$ и $-$ $A$ отождествляются. Модульная группа действует на верхнюю половину комплексной плоскости дробно -линейными преобразованиями , а название «модулярная группа» происходит от связи с пространствами модулей , а не от модулярной арифметики . ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

Определение

Модулярная группа $Γ$ — это группа дробно-линейных преобразований верхней половины комплексной плоскости , которые имеют вид

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — целые числа, а $ad - bc = 1.$ Групповая операция — это композиция функций .

Эта группа преобразований изоморфна проективной специальной линейной группе $PSL(2, Z)$ , которая является фактором 2-мерной специальной линейной группы $SL(2, Z)$ над целыми числами по ее центру ${I, - I}$ . Другими словами, $PSL(2, Z)$ состоит из всех матриц

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — целые числа, $ad - bc = 1$ , а пары матриц $A$ и $- A$ считаются идентичными. Групповая операция — обычное умножение матриц .

Некоторые авторы определяют модулярную группу как $PSL(2, Z)$ , а другие определяют модулярную группу как большую группу $SL(2, Z)$ .

Некоторые математические соотношения требуют рассмотрения группы $GL(2, Z)$ матриц с определителем плюс или минус один. ( $SL(2, Z)$ является подгруппой этой группы.) Аналогично, $PGL(2, Z)$ является фактор-группой $GL(2, Z)/{I, - I}$ . Матрица 2 × 2 с единичным определителем является симплектической матрицей , и, таким образом, $SL(2, Z) = Sp(2, Z)$ , симплектической группой матриц 2 × 2 .

Нахождение элементов

Чтобы найти явную матрицу

${\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}$

в $SL(2, Z)$ начните с двух взаимно простых целых чисел и решите детерминантное уравнение $a,b$

$ay-bx=1.$

(Обратите внимание, что определительное уравнение заставляет быть взаимно простыми, так как в противном случае был бы такой множитель, что , , следовательно $a,b$ $c>1$ $ca'=a$ $cb'=b$

$c(a'y-b'x)=1$

не будет иметь целочисленных решений.) Например, если тогда детерминантное уравнение имеет вид $a=7,{\text{ }}b=6$

$7y-6x=1$

затем беря и давая , следовательно $y=-5$ $x=-6$ $-35-(-36)=1$

${\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}$

— матрица. Затем, используя проекцию, эти матрицы определяют элементы в $PSL(2, Z)$ .

Теоретико-числовые свойства

Определитель единицы

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

подразумевает, что дроби _{$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠а/б⁠$} ,_$⁠$_{$а / с ⁠$} ,_$⁠$_{$с / г ⁠$} ,_$⁠$_{$б / г ⁠$} все неприводимы, то есть не имеют общих множителей (конечно, при условии, что знаменатели не равны нулю). В более общем случае, если $⁠$ $п / д ⁠$ — несократимая дробь, тогда

{\frac {ap+bq}{cp+dq}}

также несократима (опять же, при условии, что знаменатель не равен нулю). Любая пара несократимых дробей может быть связана таким образом; то есть, для любой пары $⁠$ $п / д ⁠$ и $⁠$ $г / с ⁠$ несократимых дробей существуют элементы

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )

такой что

r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.

Элементы модулярной группы обеспечивают симметрию на двумерной решетке . Пусть $ω 1$ и $ω 2$ — два комплексных числа , отношение которых не является действительным. Тогда множество точек

\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}

представляет собой решетку параллелограммов на плоскости. Другая пара векторов $α 1$ и $α 2$ будет генерировать точно такую же решетку тогда и только тогда, когда

{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}

для некоторой матрицы из $GL(2, Z)$ . Именно по этой причине двоякопериодические функции , такие как эллиптические функции , обладают модулярной групповой симметрией.

Действие модулярной группы на рациональные числа проще всего понять, представив себе квадратную сетку с точкой сетки $(p, q),$ соответствующей дроби $⁠$ $п / д ⁠$ (см. Евклидов сад ). Несократимая дробь — это дробь, видимая из начала координат; действие модулярной группы на дробь никогда не переводит видимую (несократимую) дробь в скрытую (сократимую), и наоборот.

Обратите внимание, что любой член модулярной группы отображает проективно расширенную действительную прямую один к одному в себя и, более того, биективно отображает проективно расширенную рациональную прямую (рациональные числа с бесконечностью) в себя, иррациональные числа в иррациональные числа, трансцендентные числа в трансцендентные числа, недействительные числа в недействительные числа, верхнюю полуплоскость в верхнюю полуплоскость и т. д.

Если $⁠$ $п н -1 / q n -1 ⁠$ и $⁠$ $п н / д н ⁠$ — две последовательные подходящие дроби цепной дроби , тогда матрица

{\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}

принадлежит $GL(2, Z)$ . В частности, если $bc - ad = 1$ для положительных целых чисел $a$ , $b$ , $c$ , $d$ с $a < b$ и $c < d ,$ то $⁠$ $а / б ⁠$ и $⁠$ $с / г ⁠$ будут соседями в последовательности Фарея порядка $max(b, d)$ . Важные особые случаи конвергентных дробей включают числа Фибоначчи и решения уравнения Пелля . В обоих случаях числа можно расположить так, чтобы они образовали полугрупповое подмножество модулярной группы.

Теоретико-групповые свойства

Презентация

Можно показать, что модульная группа генерируется двумя преобразованиями

{\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}

так что каждый элемент в модулярной группе может быть представлен (не единственным способом) композицией степеней $S$ и $T.$ Геометрически $S$ представляет собой инверсию в единичной окружности с последующим отражением относительно мнимой оси, тогда как $T$ представляет собой единичный перенос вправо.

Генераторы $S$ и $T$ подчиняются соотношениям $S 2 = 1$ и $(ST) 3 = 1.$ Можно показать ^[1] , что это полный набор соотношений, поэтому модулярная группа имеет представление :

\Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle

Это представление описывает модулярную группу как группу вращения треугольника $D(2, 3, \infty)$ (бесконечность, поскольку нет никакого отношения на $T$ ), и, таким образом, она отображается на все группы треугольника $(2, 3, n)$ путем добавления отношения $T n = 1$ , которое встречается, например, в подгруппе конгруэнции $Γ(n)$ .

Используя генераторы $S$ и $ST$ вместо $S$ и $T$ , это показывает, что модулярная группа изоморфна свободному произведению циклических групп $C 2$ и $C 3$ :

\Gamma \cong C_{2}*C_{3}

Действие $T : z \mapsto z + 1$ на $H$
Действие $S : z \mapsto - ⁠ 1 / з ⁠$ на $H$

Группа кос

Группа кос $B 3$ является универсальным центральным расширением модулярной группы, причем они располагаются как решетки внутри (топологической) универсальной накрывающей группы $SL 2 (R) \to PSL 2 (R) . Кроме того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и$ $,$ таким образом, модулярная группа изоморфна фактор-группе B 3 $по модулю$ ее центра ; что эквивалентно, группе внутренних автоморфизмов B $3$ .

Группа кос $B 3$ , в свою очередь, изоморфна группе узлов трилистника .

Коэффициенты

Значительный интерес представляют частные по подгруппам конгруэнтности.

Другими важными факторами являются группы треугольников $(2, 3, n)$ , которые геометрически соответствуют спуску к цилиндру, факторизуя координату $x$ по модулю $n$ , как $T n = (z \mapsto z + n)$ . $(2, 3, 5)$ — это группа икосаэдрической симметрии , а группа треугольников $(2, 3, 7)$ (и связанная с ней мозаика) — это покрытие для всех поверхностей Гурвица .

Представление в виде матричной группы

Группа может быть создана двумя матрицами ^[2] ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}

Проекция превращает эти матрицы в генераторы с отношениями, аналогичными групповому представлению. ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$

Связь с гиперболической геометрией

Модулярная группа важна, поскольку она образует подгруппу группы изометрий гиперболической плоскости . Если мы рассмотрим верхнюю полуплоскостную модель $H$ геометрии гиперболической плоскости, то группа всех сохраняющих ориентацию изометрий $H$ состоит из всех преобразований Мёбиуса вида

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — действительные числа . В терминах проективных координат группа $PSL(2, R)$ действует на верхнюю полуплоскость $H$ по принципу проективности:

[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].

Это действие является точным . Поскольку $PSL(2, Z)$ является подгруппой $PSL(2, R)$ , модулярная группа является подгруппой группы сохраняющих ориентацию изометрий $H$ . ^[3]

Замощение гиперболической плоскости

Типичная фундаментальная область для действия $Γ$ на верхней полуплоскости.

Модулярная группа $Γ$ действует на как дискретная подгруппа , то есть для каждого $z$ в мы можем найти окрестность $z$ , которая не содержит никаких других элементов орбиты z . Это также означает, что мы можем построить фундаментальные области , которые $($ грубо говоря) содержат ровно одного представителя из орбиты каждого $z$ в $H$ . (Необходимо быть внимательным на границе области.) ${\textstyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \mathbb {H} }$

Существует много способов построения фундаментального домена, но наиболее распространенным выбором является регион

R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}

ограниченный вертикальными линиями $Re(z) = ⁠ 1 / 2 ⁠$ и $Re(z) = - ⁠ 1 / 2 ⁠$ , и окружность $| z | = 1$ . Эта область является гиперболическим треугольником. Он имеет вершины в $⁠$ $1 / 2 ⁠ + я ⁠ \sqrt 3 / 2 ⁠$ и $- ⁠ 1 / 2 ⁠ + я ⁠ \sqrt 3 / 2 ⁠$ , где угол между его сторонами равен $⁠$ $π / 3 ⁠$ , и третья вершина в бесконечности, где угол между ее сторонами равен 0.

Существует сильная связь между модулярной группой и эллиптическими кривыми . Каждая точка в верхней полуплоскости дает эллиптическую кривую, а именно фактор по решетке, порожденной 1 и . Две точки в верхней полуплоскости дают изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда они связаны преобразованием в модулярной группе. Таким образом, фактор верхней полуплоскости по действию модулярной группы является так называемым пространством модулей эллиптических кривых: пространством, точки которого описывают классы изоморфизма эллиптических кривых. Это часто визуализируется как фундаментальная область, описанная выше, с некоторыми точками на ее границе, идентифицированными. $z$ $\mathbb {C}$ $z$

Модулярная группа и ее подгруппы также являются источником интересных мозаик гиперболической плоскости. Преобразуя эту фундаментальную область поочередно каждым из элементов модулярной группы, создается правильная мозаика гиперболической плоскости конгруэнтными гиперболическими треугольниками, известная как бесконечная треугольная мозаика V6.6.∞ . Обратите внимание, что каждый такой треугольник имеет одну вершину либо на бесконечности, либо на действительной оси $Im(z) = 0$ .

Эту мозаику можно расширить до диска Пуанкаре , где каждый гиперболический треугольник имеет одну вершину на границе диска. Мозаика диска Пуанкаре естественным образом задается $J$ -инвариантом , который инвариантен относительно модулярной группы и достигает каждого комплексного числа один раз в каждом треугольнике этих областей.

Эту мозаику можно немного усовершенствовать, разделив каждую область на две половины (обычно окрашенные в черный и белый цвета), добавив карту, меняющую ориентацию; цвета затем соответствуют ориентации домена. Добавление $(x, y) \mapsto (- x, y)$ и взятие правой половины области $R$ (где $Re(z) \geq 0$ ) дает обычную мозаику. Эта мозаика впервые появляется в печати в (Klein & 1878/79a), ^[4] , где она приписывается Ричарду Дедекинду со ссылкой на (Dedekind 1877). ^[4]^[5]

Карту групп $(2, 3, \infty) \to (2, 3, n)$ (из модулярной группы в группу треугольников) можно визуализировать в терминах этой мозаики (получая мозаику на модульной кривой), как показано на видео справа.

Подгруппы конгруэнтности

Важные подгруппы модулярной группы $Γ$ , называемые подгруппами конгруэнтности , задаются путем наложения соотношений конгруэнтности на соответствующие матрицы.

Существует естественный гомоморфизм $SL(2, Z) \to SL(2, Z / N Z),$ заданный сокращением элементов по модулю $N$ . Это индуцирует гомоморфизм на модулярной группе $PSL(2, Z) \to PSL(2, Z / N Z)$ . Ядро этого гомоморфизма называется главной конгруэнтной подгруппой уровня $N$ , обозначаемой $Γ(N)$ . Мы имеем следующую короткую точную последовательность :

1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.

Будучи ядром гомоморфизма $Γ(N),$ является нормальной подгруппой модулярной группы $Γ$ . Группа $Γ(N)$ задается как множество всех модулярных преобразований

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

для которых $a \equiv d \equiv \pm1 (mod N)$ и $b \equiv c \equiv 0 (mod N)$ .

Легко показать, что след матрицы, представляющей элемент $Γ(N),$ не может быть равен −1, 0 или 1, поэтому эти подгруппы являются группами без кручения . (Существуют и другие подгруппы без кручения.)

Главная конгруэнтная подгруппа уровня 2, $Γ(2)$ , также называется модулярной группой $Λ$ . Поскольку $PSL(2, Z /2 Z)$ изоморфна $S 3$ , $Λ$ является подгруппой индекса 6. Группа $Λ$ состоит из всех модулярных преобразований, для которых $a$ и $d$ нечетны, а $b$ и $c$ четны.

Другим важным семейством подгрупп конгруэнции является модулярная группа $Γ 0 (N),$ определяемая как множество всех модулярных преобразований, для которых $c \equiv 0 (mod N)$ , или, что эквивалентно, как подгруппа, матрицы которой становятся верхнетреугольными при редукции по модулю $N$ . Обратите внимание, что $Γ(N)$ является подгруппой $Γ 0 (N)$ . Модульные кривые , связанные с этими группами, являются аспектом чудовищного лунного света — для простого числа $p$ модулярная кривая нормализатора имеет род ноль тогда и только тогда, когда $p$ делит порядок группы - монстра , или, что эквивалентно, если $p$ является суперсингулярным простым числом .

Диадический моноид

Одним из важных подмножеств модулярной группы является диадический моноид , который является моноидом всех строк вида $ST k ST m ST n ...$ для положительных целых чисел $k, m, n,...$ . Этот моноид естественным образом возникает при изучении фрактальных кривых и описывает симметрии самоподобия функции Кантора , функции вопросительного знака Минковского и снежинки Коха , каждая из которых является частным случаем общей кривой де Рама . Моноид также имеет линейные представления более высокой размерности; например, представление $N = 3$ можно понимать как описание самосимметрии кривой бланманже .

Карты тора

Группа $GL(2, Z)$ — это линейные отображения, сохраняющие стандартную решетку $Z 2$ , а SL ( $2, Z)$ — это сохраняющие ориентацию отображения, сохраняющие эту решетку; таким образом, они спускаются к самогомеоморфизмам тора (SL-отображение в сохраняющие ориентацию отображения) и фактически изоморфно отображаются в (расширенную) группу классов отображений тора, что означает, что каждый самогомеоморфизм тора изотопен отображению этой формы. Алгебраические свойства матрицы как элемента $GL(2,$ $Z$ $)$ соответствуют динамике индуцированного отображения тора.

Группы Хекке

Модулярную группу можно обобщить до групп Гекке , названных в честь Эриха Гекке , и определить их следующим образом. ^[7]

Группа Гекке $H q$ с $q \geq 3$ — это дискретная группа, порожденная

{\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}

где $λ q = 2 cos ⁠ π / д ⁠$ . Для малых значений $q \geq 3$ имеем:

{\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}

Модулярная группа $Γ$ изоморфна $H 3$ , и они имеют общие свойства и приложения — например, так же, как существует свободное произведение циклических групп

\Gamma \cong C_{2}*C_{3},

в более общем смысле есть

H_{q}\cong C_{2}*C_{q},

что соответствует треугольной группе $(2, q, \infty)$ . Аналогично существует понятие главных конгруэнтных подгрупп, связанных с главными идеалами в $Z [λ]$ .

История

Модулярная группа и ее подгруппы были впервые подробно изучены Рихардом Дедекиндом и Феликсом Клейном в рамках его Эрлангенской программы в 1870-х годах. Однако тесно связанные эллиптические функции были изучены Жозефом Луи Лагранжем в 1785 году, а дальнейшие результаты по эллиптическим функциям были опубликованы Карлом Густавом Якобом Якоби и Нильсом Хенриком Абелем в 1827 году.

Смотрите также

Ссылки

^ Альперин, Роджер С. (апрель 1993 г.). " $PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3$ ". Amer. Math. Monthly . 100 (4): 385–386. doi :10.2307/2324963. JSTOR 2324963.
^ Конрад, Кит. «SL(2,Z)» (PDF) .
^ МакКрири, Пол Р.; Мерфи, Тери Джо; Картер, Кристиан. «Модулярная группа» (PDF) . Журнал Mathematica . 9 (3).
^ аб Ле Брюйн, Ливен (22 апреля 2008 г.), Дедекинд или Кляйн?
↑ Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «Модулярные чудеса». The American Mathematical Monthly . 108 (1): 70–76. doi :10.2307/2695682. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695682.
^ Вестендорп, Джерард. «Платоновы мозаики римановых поверхностей». westy31.nl .
^ Розенбергер, Герхард; Файн, Бенджамин; Гаглионе, Энтони М.; Спеллман, Деннис (2006). Комбинаторная теория групп, дискретные группы и теория чисел. стр. 65. ISBN 9780821839850.

Апостол, Том М. (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. гл. 2. ISBN 0-387-97127-0.
Кляйн, Феликс (1878–1879), «Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (О преобразовании эллиптических функций и ...)», Math. Аннален , 14 : 13–75, doi : 10.1007/BF02297507, S2CID 121056952, заархивировано из оригинала 19 июля 2011 г. , получено 3 июня 2010 г.
Дедекинд, Рихард (сентябрь 1877 г.), «Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen», Crelle's Journal , 83 : 265–292..