Мозаика Аммана–Беенкера

Часть мозаики, созданной с помощью апериодического набора плиток Аммана A5, украшенная конечными локальными правилами соответствия, которые создают бесконечную глобальную структуру мозаики Аммана–Бинкера.

В геометрии мозаика Аммана –Беенкера — это непериодическая мозаика , которая может быть создана либо апериодическим набором протоплиток , как это сделал Роберт Амманн в 1970-х годах, либо методом разрезания и проецирования, как это сделал независимо Ф. П. М. Беенкер. Они являются одним из пяти наборов мозаик, открытых Амманном и описанных в книге «Мозаики и узоры» . ^[1]

Мозаики Аммана–Бинкера обладают многими свойствами, схожими со свойствами более известных мозаик Пенроуза :

Они непериодичны, что означает, что у них отсутствует какая-либо трансляционная симметрия .
Их непериодичность подразумевается их иерархической структурой: мозаики являются замещающими мозаиками, возникающими из правил замещения для растущих все больших и больших участков. Эта структура замещения также подразумевает, что:
Любая конечная область (участок) в мозаике появляется бесконечно много раз в этой мозаике и, фактически, в любой другой мозаике. Таким образом, все бесконечные мозаики выглядят похожими друг на друга, если смотреть только на конечные участки.
Они квазикристалличны : реализованная как физическая структура мозаика Аммана–Бинкера произведет дифракцию Брэгга ; дифрактограмма выявляет как лежащую в основе восьмикратную симметрию, так и дальний порядок. Этот порядок отражает тот факт, что мозаики организованы не через трансляционную симметрию, а скорее через процесс, иногда называемый «дефляцией» или «инфляцией».
Вся эта бесконечная глобальная структура реализуется посредством локальных правил сопоставления на паре плиток, среди самых простых апериодических наборов плиток, когда-либо найденных, набора Аммана A5. ^[1]

Были предложены различные методы описания мозаик: правила сопоставления, подстановки, схемы разрезания и проекции ^[2] и покрытия. ^[3]^[4] В 1987 году Ван, Чэнь и Куо объявили об открытии квазикристалла с восьмиугольной симметрией. ^[5]

Описание плитки

Пара плиток A5 Аммана A и B, украшенная соответствующими правилами; любая мозаика, созданная этими мозаиками, обязательно непериодична, и, следовательно, плитки являются апериодичными.

Правила подстановки Аммана A5, используемые для доказательства того, что плитки A5 могут образовывать только непериодические иерархические мозаики и, таким образом, являются апериодическими плитками.

Плитки Аммана A и B в его паре A5 — ромб с углами 45-135 градусов и треугольник с углами 45-45-90 градусов, украшенные правилами соответствия, которые допускают только определенные расположения в каждой области, вынуждая непериодические, иерархические и квазипериодические структуры каждой из бесконечного числа отдельных мозаик Аммана–Бинкера.

Альтернативный набор плиток, также обнаруженный Амманном и обозначенный как «Амманн 4» у Грюнбаума и Шепарда ^[1] , состоит из двух невыпуклых прямоугольных частей. Одна состоит из двух квадратов, наложенных на меньший квадрат, а другая состоит из большого квадрата, прикрепленного к меньшему квадрату. На диаграммах ниже показаны части и часть плиток.

Это правило замены для альтернативного набора плиток.

Взаимосвязь между двумя наборами плиток.

В дополнение к стрелкам на краях обычного набора плиток правила соответствия для обоих наборов плиток можно выразить, нарисовав части больших стрелок в вершинах и потребовав, чтобы они сложились в полноценные стрелки.

Кац ^[6] изучил дополнительные мозаики, разрешенные путем отказа от ограничений вершин и наложения только требования, чтобы стрелки ребер совпадали. Поскольку это требование само по себе сохраняется правилами подстановки, любая новая мозаика имеет бесконечную последовательность «увеличенных» копий, полученных путем последовательного применения правила подстановки. Каждая мозаика в последовательности неотличима от настоящей мозаики Аммана–Бинкера в последовательно большем масштабе. Поскольку некоторые из этих мозаик являются периодическими, из этого следует, что никакое украшение мозаики, которое действительно вызывает апериодичность, не может быть определено путем рассмотрения любого конечного участка мозаики. Ориентация стрелок вершин, которая вызывает апериодичность, тогда может быть выведена только из всей бесконечной мозаики.

У мозаики также есть экстремальное свойство: среди мозаик, в которых ромбы чередуются (то есть, когда два ромба соседствуют или разделены рядом квадратов, они появляются в разных ориентациях), доля квадратов оказывается минимальной в мозаиках Аммана–Бинкера. ^[7]

Характеристики соотношения Pell и серебра

Мозаики Аммана–Бинкера тесно связаны с серебряным отношением ( ) и числами Пелля . $1+{\sqrt {2}}$

схема подстановки вводит отношение как масштабирующий коэффициент: ее матрица является матрицей подстановки Пелля, а ряд слов, полученный в результате подстановки, обладает тем свойством, что количество s и s равно последовательным числам Пелля. $R\to RrR;r\to R$ $r$ $R$
Собственные значения матрицы подстановки равны и . $1+{\sqrt {2}}$ $1-{\sqrt {2}}$
В альтернативном наборе плиток длинные стороны имеют в разы большую длину, чем короткие стороны. $1+{\sqrt {2}}$
Один набор червей Конвея , образованный короткими и длинными диагоналями ромбов, образует вышеуказанные строки, где r — короткая диагональ, а R — длинная диагональ. Таким образом, стержни Аммана также образуют упорядоченные сетки Пелла. ^[8]

Полосы Аммана для обычного набора плиток. Если взять жирные внешние линии длиной , то полосы разделят края на сегменты длиной и . Эти плитки называются плитками Аммана A5 . $2{\sqrt {2}}$ $1+{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}-1$

Полосы Аммана для альтернативного набора плиток. Обратите внимание, что полосы для асимметричной плитки частично выходят за ее пределы. Эти плитки называются плитками Аммана A4 .

Строительство методом «разрез-проект»

Тессерактовые соты имеют восьмикратную вращательную симметрию, соответствующую восьмикратной вращательной симметрии тессеракта . Матрица вращения, представляющая эту симметрию, имеет вид:

A={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}.

Преобразуем эту матрицу в новые координаты, заданные формулой

B={\begin{bmatrix}-1/2&0&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&0\\-1/2&0&-1/2&-{\sqrt {2}}/2\\-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\end{bmatrix}}

будет производить:

BAB^{-1}={\begin{bmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}.

Эта третья матрица затем соответствует повороту как на 45° (в первых двух измерениях), так и на 135° (в последних двух). Затем мы можем получить мозаику Аммана–Беенкера, спроецировав плиту гиперкубов либо вдоль первых двух, либо вдоль последних двух новых координат.

Альтернативно, мозаику Аммана–Беенкера можно получить, рисуя ромбы и квадраты вокруг точек пересечения пары квадратных решеток одинакового масштаба, наложенных под углом 45 градусов. Эти два метода были разработаны Беенкером в его статье.

Связанное высокоразмерное вложение в тессерактовые соты — это конструкция Клотца, как подробно описано в ее применении здесь, в статье Бааке и Джозефа. ^[9] Таким образом, восьмиугольная область принятия может быть далее разделена на части, каждая из которых затем дает начало ровно одной конфигурации вершин. Более того, относительная площадь любой из этих областей равна частоте соответствующей конфигурации вершин в бесконечной мозаике.

Ссылки и примечания

^ abc Grünbaum, B. ; Shephard, GC (1986). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
^ Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, TH Report 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен
^ Ф. Гелер, в Трудах 6-й Международной конференции по квазикристаллам, под редакцией С. Такеучи и Т. Фудзивары, World Scientific, Сингапур, 1998, стр. 95.
^ Бен-Абрахам, СИ; Гелер, Ф. (1999). "Описание кластера покрытия октагональных квазикристаллов MnSiAl" (PDF) . Physical Review B . 60 (2): 860–864. doi :10.1103/PhysRevB.60.860. Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2007 г.
^ Ван, Н.; Чен, Х.; Куо, КХ (1987). «Двумерный квазикристалл с восьмикратной вращательной симметрией» (PDF) . Physical Review Letters . 59 (9): 1010–1013. Bibcode :1987PhRvL..59.1010W. doi :10.1103/PhysRevLett.59.1010. PMID 10035936.
^ Katz, A (1995). «Соответствующие правила и квазипериодичность: восьмиугольные мозаики». В Axel, F.; Gratias, D. (ред.). Beyond quadracismystals . Springer. стр. 141–189. doi :10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN 978-3-540-59251-8.
^ Бедарид, Н.; Ферник, Т. (2013). «Повторный взгляд на мозаики Аммана-Бинкера». В Шмид, С.; Уизерс, Р.; Лифшиц, Р. (ред.). Апериодические кристаллы . Springer. стр. 59–65. arXiv : 1208.3545v1 . doi :10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN 978-94-007-6430-9. S2CID 8483564.
^ Socolar, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Physical Review B. 39 ( 15): 10519–10551. Bibcode :1989PhRvB..3910519S. doi :10.1103/PhysRevB.39.10519. PMID 9947860. MR0998533.
^ Baake, M; Joseph, D (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Physical Review B. 42 ( 13): 8091–8102. Bibcode : 1990PhRvB..42.8091B. doi : 10.1103/physrevb.42.8091. PMID 9994979.

Внешние ссылки

Статья в энциклопедии Tilings.
Плитки Аммана–Беенкера на сайте Джона Саварда.