Теорема о монотонной сходимости

Теоремы о сходимости ограниченных монотонных последовательностей

В математической области реального анализа теорема о монотонной сходимости — это любая из ряда связанных с ней теорем, доказывающих сходимость монотонных последовательностей (убывающих или возрастающих последовательностей ), которые также являются ограниченными . Неформально, теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху супремумом , то последовательность будет сходиться к супремуму; точно так же, если последовательность убывает и ограничена снизу нижней границей , она будет сходиться к нижней границе.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Лемма 1

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то ее верхняя грань является пределом.

Доказательство

Пусть – такая последовательность, и пусть – множество членов . По предположению непусто и ограничено сверху. По свойству наименьшей верхней границы действительных чисел существует и конечен. Теперь для каждого существует такое, что , так как в противном случае это верхняя граница , что противоречит определению . Тогда , поскольку увеличивается и является его верхней границей, для каждого имеем . Следовательно, по определению предел равен ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle |c-a_{n}|\leq |c-a_{N}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Лемма 2

Если последовательность действительных чисел убывает и ограничена снизу, то ее нижняя грань является пределом.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастает и ограничена сверху.

Теорема

Если это монотонная последовательность действительных чисел (т. е. если  n ⩽ a n +1 для каждого n ≥ 1 или n ≥  a _n +1 _{для каждого} n ≥ 1 ) _, то _{эта последовательность} имеет  конечный  предел тогда и только тогда, когда последовательность ограничена . ^[1] ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Доказательство

• «Если»-направление: Доказательство следует непосредственно из лемм.
• Направление «только если»: согласно (ε, δ)-определению предела каждая последовательность с конечным пределом обязательно ограничена. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L}$

Сходимость монотонного ряда

Теорема

Если для всех натуральных чисел j и k a _j , _k является неотрицательным действительным числом и a _{j , k}  ≤ a _{j +1, k ,} то ^{[2] : 168}

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}.}$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел такая, что

1. столбцы слабо возрастающие и ограниченные, а
2. для каждой строки ряд , члены которого заданы этой строкой, имеет сходящуюся сумму,

тогда предел сумм строк равен сумме ряда, член которого k задается пределом столбца k (который также является его верхней границей ). Ряд имеет сходящуюся сумму тогда и только тогда, когда (слабо возрастающая) последовательность сумм строк ограничена и, следовательно, сходится.

В качестве примера рассмотрим бесконечную серию строк

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},}$

где n стремится к бесконечности (предел этого ряда — e ). Здесь запись матрицы в строке n и столбце k равна

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}};}$

столбцы (фиксированное k ) действительно слабо возрастают с ростом n и ограничены (по 1/ k !), тогда как строки имеют только конечное число ненулевых членов, поэтому условие 2 удовлетворено; теперь теорема гласит, что вы можете вычислить предел сумм строк , взяв сумму пределов столбцов, а именно  . ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k!}}}$

Лемма Беппо Леви

Следующий результат принадлежит Беппо Леви , который в 1906 году доказал небольшое обобщение более раннего результата Анри Лебега . ^[3] В дальнейшем обозначает -алгебру борелевских множеств на . По определению содержит множество и все борелевские подмножества ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Теорема

Пусть – пространство с мерой , и . Рассмотрим поточечную неубывающую последовательность - измеримых неотрицательных функций , т . е. для всех и каждого , ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle {k\geq 1}}$ ${\displaystyle {x\in X}}$

${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .}$

Установите поточечный предел последовательности равным . То есть для каждого ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x).}$

Тогда -измеримо и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными и бесконечными.

Замечание 2. Теорема остается верной, если ее предположения выполняются почти всюду. Другими словами, достаточно того, что существует нулевое множество, такое, что последовательность не убывает для каждого . Чтобы понять, почему это верно, мы начнем с наблюдения, что если последовательность не убывает поточечно почти везде, то ее поточечный предел становится равным быть неопределенным на некотором нулевом множестве . В этом нулевом множестве его можно затем определить произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, заметим, что , поскольку мы имеем для каждого ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$и ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что оно измеримо. ^{[4] : раздел 21.38} (Эти равенства следуют непосредственно из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Замечание 3. В условиях теоремы

1. ${\displaystyle \textstyle f(x)=\liminf _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k}f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)}$
2. ${\displaystyle \textstyle \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\textstyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

(Заметим, что вторая цепочка равенств следует из замечания 5).

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорему можно использовать для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. замечание 4), пусть функции -измеримы . ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

• Если везде, то ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если и тогда ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство. Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что всюду на ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ ${\displaystyle X.}$

1. Поскольку у нас есть ${\displaystyle f\leq g,}$

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойств супремума

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Пусть – индикаторная функция множества. Из определения интеграла Лебега можно вывести, что ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}.}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$

если мы заметим, что для каждого внешнего свойства В сочетании с предыдущим свойством из неравенства следует ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle X_{1}.}$ ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату ; однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму. Те, кого не интересует такая независимость доказательства, могут пропустить приведенные ниже промежуточные результаты.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Пусть – измеримое пространство. Рассмотрим простую -измеримую неотрицательную функцию . Для подмножества определите ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

Тогда – мера по . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega }$

Доказательство

Монотонность следует из замечания 5. Здесь мы докажем только счетную аддитивность, оставив все остальное на усмотрение читателя. Пусть , где все множества попарно не пересекаются. Благодаря простоте, ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}},}$

для некоторых конечных неотрицательных констант и попарно непересекающихся множеств таких, что . По определению интеграла Лебега ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }S_{j}\right)\cap A_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)\end{aligned}}}$

Поскольку все множества попарно не пересекаются, счетная аддитивность дает нам ${\displaystyle S_{j}\cap A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).}$

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, конечная или бесконечная, не может измениться, если меняется порядок суммирования. По этой причине,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,d\mu \\&=\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}}$

как требуется.

«Непрерывность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть – мера и , где ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

— неубывающая цепь, все ее множества — измеримы. Затем ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i}).}$

Доказательство теоремы

Шаг 1. Начнем с того, что покажем, что измеримо . ^{[4] : раздел 21.3.} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Примечание. Если бы мы использовали лемму Фату, измеримость легко вытекала бы из замечания 3(а).

Чтобы сделать это без использования леммы Фату, достаточно показать, что прообраз интервала под является элементом сигма-алгебры на , поскольку (замкнутые) интервалы порождают сигма-алгебру Бореля на действительных числах. Так как – замкнутый интервал, и для каждого , , ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f(x)}$

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl [}\forall k\quad 0\leq f_{k}(x)\leq t{\Bigr ]}.}$

Таким образом,

${\displaystyle \{x\in X\mid 0\leq f(x)\leq t\}=\bigcap _{k}\{x\in X\mid 0\leq f_{k}(x)\leq t\}.}$

Являясь прообразом борелевского множества относительно -измеримой функции , каждое множество в счетном пересечении является элементом . Поскольку -алгебры по определению замкнуты относительно счетных пересечений, это показывает, что -измерима , а интеграл корректно определен (и, возможно, бесконечен). ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Шаг 2. Сначала покажем, что ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Определение и монотонность подразумевают, что для всех и каждого . В силу монотонности (точнее, ее более узкой версии, установленной в замечании 5; см. также замечание 4) интеграла Лебега ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ ${\displaystyle f(x)\geq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

и

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Заметим, что предел справа существует (конечный или бесконечный), поскольку в силу монотонности (см. замечания 5 и 4) последовательность неубывающая.

Конец шага 2.

Теперь докажем обратное неравенство. Мы стремимся показать, что

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

Доказательство с использованием леммы Фату. Согласно замечанию 3, неравенство, которое мы хотим доказать, эквивалентно неравенству

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{k}f_{k}(x)\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Но последнее следует непосредственно из леммы Фату, и доказательство завершено.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без использования леммы Фату, нам понадобится дополнительная техника. Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что на . ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ ${\displaystyle X}$

Шаг 3. Учитывая простую функцию и действительное число , определите ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Тогда , , и . ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in \Sigma }$ ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

Шаг 3а. Для доказательства первого утверждения пусть , для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств таких, что , некоторые (конечные) неотрицательные константы , и обозначая индикаторную функцию набора . ${\displaystyle \textstyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Для каждого выполняется тогда и только тогда, когда Учитывая, что множества попарно не пересекаются, ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ].}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}.}$

Поскольку прообраз борелевского множества относительно измеримой функции измерим, а -алгебры по определению замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение. ${\displaystyle f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Шаг 3б. Для доказательства второго утверждения заметим, что для каждого и каждого ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x).}$

Шаг 3в. Для доказательства третьего утверждения покажем, что . ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

Действительно, если, наоборот, , то элемент ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

${\displaystyle \textstyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

существует такое , что для каждого . Принимая предел как , получаем ${\displaystyle f_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Но по первоначальному предположению, . Это противоречие. ${\displaystyle s\leq f}$

Шаг 4. Для каждой простой -измеримой неотрицательной функции ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Чтобы доказать это, определим . По лемме 1 является мерой на . По «непрерывности снизу» (лемма 2) ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$ ${\displaystyle \nu (S)}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu ,}$

как требуется.

Шаг 5. Теперь докажем, что для любого , ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Действительно, используя определение , неотрицательность и монотонность интеграла Лебега (см. замечание 5 и 4), имеем ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

для каждого . В соответствии с шагом 4 при , неравенство принимает вид ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Принимая предел в качестве доходности ${\displaystyle t\uparrow 1}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

как требуется.

Шаг 6. Теперь мы можем доказать обратное неравенство, т.е.

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Действительно, по неотрицательности, и Для приведенного ниже расчета неотрицательность существенна. Применяя определение интеграла Лебега и неравенство, установленное в шаге 5, имеем ${\displaystyle f_{+}=f}$ ${\displaystyle f_{-}=0.}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Доказательство завершено.

Ослабление предположения о монотонности

При гипотезах, аналогичных теореме Беппо Леви, можно ослабить гипотезу монотонности. ^[5] Как и прежде, пусть – пространство с мерой и . Опять же будет последовательность измеримых неотрицательных функций . Однако мы не предполагаем, что они точечно не убывают. Вместо этого мы предполагаем, что сходится почти для каждого , мы определяем его как поточечный предел и дополнительно предполагаем, что поточечно почти всюду для всех . Тогда -измеримо и существует, и ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{k}\leq f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$$

Как и раньше, измеримость следует из того, что почти всюду. Тогда замена пределов и интегралов является простым следствием леммы Фату. Надо ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}}$

$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$

$${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$

${\textstyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

Смотрите также

• Бесконечная серия
• Теорема о доминируемой сходимости

Примечания

1. Обобщение этой теоремы было дано Бибби, Джоном (1974). «Аксиоматизация среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей». Математический журнал Глазго . 15 (1): 63–65. дои : 10.1017/S0017089500002135 .
2. См., например , Йе, Дж. (2006). Реальный анализ: теория меры и интегрирования . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.
3. Шаппахер, Норберт ; Шуф, Рене (1996), «Беппо Леви и арифметика эллиптических кривых» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi : 10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
4. См., например , Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0-12-622760-8.
5. coudy (https://mathoverflow.net/users/6129/coudy), Знаете ли вы важные теоремы, которые остаются неизвестными? URL (версия: 05.06.2018): https://mathoverflow.net/q/296540