Квантовый Монте-Карло

Вероятностные алгоритмы для моделирования квантовых систем многих тел

Квантовый Монте-Карло включает в себя большое семейство вычислительных методов, общей целью которых является исследование сложных квантовых систем . Одна из основных целей этих подходов — предоставить надежное решение (или точное приближение) квантовой задачи многих тел . Все разнообразные разновидности квантовых подходов Монте-Карло имеют общее использование метода Монте-Карло для обработки многомерных интегралов, которые возникают в различных формулировках задачи многих тел.

Квантовые методы Монте-Карло позволяют напрямую рассматривать и описывать сложные эффекты многих тел, закодированные в волновой функции , выходя за рамки теории среднего поля . В частности, существуют численно точные и полиномиально масштабируемые алгоритмы для точного изучения статических свойств бозонных систем без геометрических нарушений . Для фермионов существуют очень хорошие аппроксимации их статических свойств и численно точные экспоненциально масштабируемые квантовые алгоритмы Монте-Карло, но ни один из них не является и тем, и другим.

Фон

В принципе, любая физическая система может быть описана уравнением Шредингера для многих тел, если составляющие ее частицы не движутся «слишком» быстро; то есть они не движутся со скоростью, сравнимой со скоростью света, и релятивистскими эффектами можно пренебречь. Это справедливо для широкого круга электронных задач в физике конденсированного состояния , в бозе-эйнштейновских конденсатах и ​​сверхтекучих средах , таких как жидкий гелий . Способность решать уравнение Шредингера для данной системы позволяет прогнозировать ее поведение, что имеет важные приложения, начиная от материаловедения и заканчивая сложными биологическими системами .

Однако трудность состоит в том, что решение уравнения Шредингера требует знания волновой функции многих тел в гильбертовом пространстве многих тел , которое обычно имеет экспоненциально большой размер числа частиц. Поэтому ее решение для достаточно большого числа частиц обычно невозможно даже для современной технологии параллельных вычислений за разумное время. Традиционно для более удобной интерпретации уравнения Шредингера использовались приближения волновой функции многих тел как антисимметричной функции однотельных орбиталей ^{[1] .} Однако такая формулировка имеет несколько недостатков: либо ограничение эффекта квантовых корреляций многих тел, как в случае приближения Хартри – Фока (HF), либо очень медленная сходимость, как в приложениях конфигурационного взаимодействия в квантовой химии.

Квантовый Монте-Карло — это способ непосредственного изучения проблемы многих тел и волновой функции многих тел за пределами этих приближений. Наиболее продвинутые квантовые подходы Монте-Карло обеспечивают точное решение проблемы многих тел для нефрустрированных взаимодействующих бозонных систем, одновременно обеспечивая приближенное описание взаимодействующих фермионных систем. Большинство методов направлены на вычисление волновой функции основного состояния системы, за исключением интеграла по траектории Монте-Карло и вспомогательного поля Монте-Карло с конечной температурой , которые вычисляют матрицу плотности . Помимо статических свойств, зависящее от времени уравнение Шредингера также может быть решено, хотя и только приблизительно, ограничивая функциональную форму развивающейся во времени волновой функции , как это делается в зависящем от времени вариационном методе Монте-Карло .

С вероятностной точки зрения вычисление верхних собственных значений и соответствующих собственных функций основного состояния, связанных с уравнением Шредингера, основано на численном решении задач интегрирования по путям Фейнмана – Каца. ^{[2] [3]}

Квантовые методы Монте-Карло

Существует несколько квантовых методов Монте-Карло, каждый из которых по-разному использует Монте-Карло для решения задачи многих тел.

Нулевая температура (только основное состояние)

• Вариационный Монте-Карло : хорошее место для начала; он обычно используется во многих видах квантовых задач.
  • Диффузия Монте-Карло : наиболее распространенный метод высокой точности для электронов (то есть для химических задач), поскольку он достаточно эффективно приближается к точной энергии основного состояния. Также используется для моделирования квантового поведения атомов и т. д.
  • Рептация Монте-Карло : недавний метод при нулевой температуре, связанный с интегралом по траектории Монте-Карло, с приложениями, аналогичными диффузионному Монте-Карло, но с некоторыми другими компромиссами.
• Гауссов квантовый метод Монте-Карло
• Основное состояние интеграла по траектории: в основном используется для бозонных систем; для тех, кто позволяет рассчитывать физические наблюдаемые точно, т.е. с произвольной точностью.

Конечная температура (термодинамическая)

• Монте-Карло вспомогательного поля : обычно применяется к задачам решетки , хотя недавно были проведены работы по его применению к электронам в химических системах.
• Квант Монте-Карло непрерывного времени
• Детерминантный квантовый метод Монте-Карло или квантовый метод Хирша – Фая Монте-Карло
• Гибридный квантовый Монте-Карло
• Интеграл по траектории Монте-Карло : метод конечных температур в основном применяется к бозонам, где температура очень важна, особенно к сверхтекучему гелию.
• Алгоритм стохастической функции Грина: ^[4] Алгоритм, разработанный для бозонов, который может моделировать любой сложный гамильтониан решетки , не имеющий проблемы со знаком.
• Квантовая мировая линия Монте-Карло

Динамика в реальном времени (замкнутые квантовые системы)

• Вариационный метод Монте-Карло, зависящий от времени : расширение вариационного метода Монте-Карло для изучения динамики чистых квантовых состояний .

Смотрите также

• Метод Монте-Карло
• QMC@Домой
• Квантовая химия
• Квантовая цепь Маркова
• Группа ренормализации матрицы плотности
• Прореживание блоков во времени
• Алгоритм Метрополиса – Гастингса
• Оптимизация волновой функции
• Молекулярное моделирование Монте-Карло
• Компьютерные программы по квантовой химии
• Численное аналитическое продолжение

Примечания

1. «Функциональная форма волновой функции». Архивировано из оригинала 18 июля 2009 года . Проверено 22 апреля 2009 г.
2. Каффарель, Мишель; Клавери, Пьер (1988). «Развитие чисто диффузионного квантового метода Монте-Карло с использованием полной обобщенной формулы Фейнмана – Каца. I. Формализм». Журнал химической физики . 88 (2): 1088–1099. Бибкод : 1988JChPh..88.1088C. дои : 10.1063/1.454227. ISSN  0021-9606.
3. Корженёвский, А.; Фрай, Дж.Л.; Орр, Делавэр; Фазлеев Н.Г. (10 августа 1992 г.). «Вычисление интеграла по траекториям Фейнмана – Каца энергий основного состояния атомов». Письма о физических отзывах . 69 (6): 893–896. Бибкод : 1992PhRvL..69..893K. doi : 10.1103/PhysRevLett.69.893. ПМИД  10047062.
4. Руссо, В.Г. (20 мая 2008 г.). «Алгоритм стохастической функции Грина». Физический обзор E . 77 (5): 056705. arXiv : 0711.3839 . Бибкод : 2008PhRvE..77e6705R. doi : 10.1103/physreve.77.056705. PMID  18643193. S2CID  2188292.

Рекомендации

• Хаммонд, Би Джей; В. А. Лестер; Пи Джей Рейнольдс (1994). Методы Монте-Карло в квантовой химии Ab Initio . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-0321-4. ОСЛК  29594695.
• Найтингейл, депутат парламента; Умригар, Сайрус Дж., ред. (1999). Квантовые методы Монте-Карло в физике и химии . Спрингер. ISBN 978-0-7923-5552-6.
• WMC Фулкс; Л. Миташ; Р.Дж. Потребности; Г. Раджагопал (5 января 2001 г.). «Квантовое моделирование твердых тел методом Монте-Карло». Преподобный Мод. Физ . 73 (1): 33–83. Бибкод : 2001РвМП...73...33Ф. CiteSeerX  10.1.1.33.8129 . doi : 10.1103/RevModPhys.73.33.
• Раймундо Р. душ Сантос (2003). «Введение в квантовое моделирование фермионных систем методом Монте-Карло». Браз. Дж. Физ . 33 : 36–54. arXiv : cond-mat/0303551 . Бибкод : 2003cond.mat..3551D. дои : 10.1590/S0103-97332003000100003. S2CID  44055350.
• М. Дубецкий; Л. Митас; П. Юречка (2016). «Нековалентные взаимодействия по квантовому Монте-Карло». хим. Преподобный . 116 (9): 5188–5215. doi : 10.1021/acs.chemrev.5b00577. ПМИД  27081724.
• Бекка, Федерико; Сандро Сорелла (2017). Квантовые подходы Монте-Карло для коррелированных систем . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107129931.

Внешние ссылки

• QMC в Кембридже и по всему миру Большой объем общей информации о QMC со ссылками.
• Квантовый симулятор Монте-Карло (Qwalk)