Тип проективной плоскости
В геометрии плоскость Муфанг , названная в честь Рут Муфанг , является типом проективной плоскости , а точнее, особым типом плоскости переноса . Плоскость переноса — это проективная плоскость, которая имеет прямую переноса , то есть прямую со свойством, что группа автоморфизмов, которая фиксирует каждую точку прямой, действует транзитивно на точки плоскости, не находящиеся на прямой. [1] Плоскость переноса является плоскостью Муфанг, если каждая прямая плоскости является прямой переноса. [2]
Характеристика
Плоскость Муфанг также может быть описана как проективная плоскость, в которой справедлива малая теорема Дезарга . [3] Эта теорема утверждает, что ограниченная форма теоремы Дезарга справедлива для каждой прямой в плоскости. [4]
Например, каждая дезаргова плоскость является плоскостью Муфанг. [5]
В алгебраических терминах проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанг [6] , и это дает соответствие 1:1 между классами изоморфизма альтернативных тел и плоскостей Муфанг.
Как следствие алгебраической теоремы Артина–Цорна , что каждое конечное альтернативное тело является полем, каждая конечная плоскость Муфанг является дезарговой, но некоторые бесконечные плоскости Муфанг являются недезарговыми плоскостями . В частности, плоскость Кэли , бесконечная проективная плоскость Муфанг над октонионами , является одной из них, поскольку октонионы не образуют тело. [7]
Характеристики
Следующие условия на проективной плоскости P эквивалентны: [8]
- P — самолет Муфанг.
- Группа автоморфизмов, фиксирующая все точки любой заданной прямой, действует транзитивно на точки, не лежащие на этой прямой.
- Некоторое тройное кольцо плоскости является альтернативным делящим кольцом.
- P изоморфна проективной плоскости над альтернативным телом.
Также в самолете Муфанг:
- Группа автоморфизмов действует транзитивно на четырехугольниках. [9] [10]
- Любые два тернарных кольца плоскости изоморфны.
Смотрите также
Примечания
- ^ То есть группа действует транзитивно на аффинной плоскости, образованной удалением этой прямой и всех ее точек из проективной плоскости.
- ↑ Хьюз и Пайпер 1973, стр. 101.
- ^ Пикерт 1975, стр. 186
- ^ Эта ограниченная версия гласит, что если два треугольника перспективны из точки на данной прямой, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой прямой, то третья пара соответствующих сторон также пересекается на этой прямой.
- ^ Хьюз и Пайпер 1973, стр. 153
- ↑ Хьюз и Пайпер 1973, стр. 139.
- ^ Вайбель, Чарльз (2007), «Обзор недезарговых плоскостей», Notices of the AMS , 54 (10): 1294–1303
- ^ Самолеты H. Klein Moufang
- ↑ Стивенсон 1972, стр. 392 Стивенсон называет плоскости Муфанг альтернативными плоскостями .
- ^ Если транзитивное заменить на остро транзитивное, то плоскость будет папповой.
Ссылки
- Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Пикерт, Гюнтер (1975), Projektive Ebenen (издание Zweite Auflage), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные плоскости , WH Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9
Дальнейшее чтение
