НИЦ-ПОВМ

Тип измерения в квантовой механике

В представлении кубита в сфере Блоха состояния SIC-POVM образуют правильный тетраэдр . Заунер предположил, что аналогичные структуры существуют в комплексных гильбертовых пространствах всех конечных измерений.

В контексте квантовой механики и квантовой теории информации симметричные, информационно полные , положительные операторно-значные меры (SIC- POVM ) представляют собой особый тип обобщенного измерения (POVM) . SIC-POVM особенно примечательны благодаря своим определяющим характеристикам: (1) информационная полнота; (2) иметь минимальное количество исходов, совместимых с информационной полнотой, и (3) быть высокосимметричными. В этом контексте информационная полнота является свойством POVM, позволяющим полностью восстанавливать входные состояния по данным измерений.

Свойства SIC-POVM делают их интересным кандидатом на роль «стандартного квантового измерения», используемого при изучении фундаментальной квантовой механики , ^{особенно в} QBism ^. SIC-POVM имеют несколько применений в контексте томографии квантовых состояний ^[1] и квантовой криптографии ^[2] , и возможная связь была обнаружена с двенадцатой проблемой Гильберта . ^[3]

Определение

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли SIC-POVM во всех измерениях?

(еще нерешенные задачи по математике)

POVM над -мерным гильбертовым пространством представляет собой набор положительно-полуопределенных операторов , сумма которых равна единице : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.}$$

Если POVM состоит как минимум из операторов, охватывающих пространство самосопряженных операторов , ее называют информационно полной POVM (IC-POVM). IC-POVM, состоящие ровно из элементов, называются минимальными. Набор проекторов ранга -1 , которые имеют равные попарные скалярные произведения Гильберта – Шмидта , ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \left\{\Pi _{i}\right\}_{i=1}^{d^{2}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},}$$

${\displaystyle F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}}$

Характеристики

Симметрия

Рассмотрим произвольный набор проекторов ранга 1, такой, что является POVM и, следовательно , . Если попросить проекторы иметь равные попарные внутренние произведения для всех , фиксируется значение . Чтобы увидеть это, заметьте, что ${\displaystyle (\Pi _{i})_{i=1}^{d^{2}}}$ ${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/d}$ ${\displaystyle {\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle c={\frac {1}{d+1}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.}$$

симметричнымискалярного произведения Гильберта – Шмидта

Супероператор

Используя элементы SIC-POVM, можно построить интересный супероператор, подобный которому отображает . Этот оператор наиболее полезен при рассмотрении связи SIC-POVM со сферическими t-образными конструкциями. Рассмотрите карту ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

Этот оператор действует на элемент SIC-POVM способом, очень похожим на идентификатор, в том смысле, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle \right|^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}}$

Но поскольку элементы SIC-POVM могут полностью и однозначно определять любое квантовое состояние, этот линейный оператор можно применить к разложению любого состояния, что дает возможность записать следующее:

${\displaystyle G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)}$где ${\displaystyle I(A)=A{\text{ and }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I}$

Отсюда можно вычислить левую обратную величину ^[4] как , и, следовательно, зная, что ${\displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]}$

${\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]}$,

выражение состояния может быть создано в терминах распределения квазивероятностей следующим образом: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

где – обозначение Дирака для оператора плотности, рассматриваемого в гильбертовом пространстве . Это показывает, что подходящее квазивероятностное представление состояния (названное так, потому что оно может давать отрицательные результаты) определяется выражением ${\displaystyle |\rho )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}}$

Поиск наборов SIC

Самый простой пример

Уравнения , определяющие SIC-POVM, можно решить вручную, получив векторы ${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}}$$

которые образуют вершины правильного тетраэдра в сфере Блоха . Проекторы, определяющие SIC-POVM, имеют вид , а элементы SIC-POVM, таким образом, равны . ${\displaystyle \Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ ${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/2=|\psi _{i}\rangle \!\langle \psi _{i}|/2}$

Для более высоких измерений это невозможно, что требует использования более сложного подхода.

Групповая ковариация

Общая групповая ковариация

SIC-POVM называется групповой ковариантной , если существует группа с -мерным унитарным представлением такая, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d^{2}}$

• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |\in P,\quad \forall U_{g}\in G,\quad U_{g}|\psi \rangle \in P}$
• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |\in P,\quad \exists U_{g}\in G,\quad U_{g}|\phi \rangle =|\psi \rangle }$

Поиск SIC-POVM можно значительно упростить, используя свойство групповой ковариантности. Действительно, задача сводится к нахождению нормированного вектора отсчета такого, что ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\langle \phi |U_{g}|\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{d+1}}\ \forall g\neq id}$.

Тогда SIC-POVM представляет собой набор , созданный групповым действием on . ${\displaystyle U_{g}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

Случай Z _d × Z _d

До сих пор большинство SIC-POVM были найдены путем рассмотрения групповой ковариации при . ^[5] Чтобы построить унитарное представление, мы отображаем в группу унитарных операторов в d-мерностях. Сначала необходимо ввести несколько операторов. Пусть – базис для , тогда фазовый оператор равен ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle U(d)}$ ${\displaystyle |e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T|e_{i}\rangle =\omega ^{i}|e_{i}\rangle }$где корень единицы ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

и оператор сдвига как

${\displaystyle S|e_{i}\rangle =|e_{i+1{\pmod {d}}}\rangle }$

Объединение этих двух операторов дает оператор Вейля , который порождает группу Гейзенберга-Вейля. Это унитарный оператор, поскольку ${\displaystyle W(p,q)=S^{p}T^{q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W(p,q)W^{\dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}\\&=Id\end{aligned}}}$

Можно проверить, что отображение является проективным унитарным представлением. Он также удовлетворяет всем свойствам групповой ковариации ^[6] и полезен для численного расчета наборов SIC. ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}\rightarrow W(p,q)}$

Гипотеза Заунера

Учитывая некоторые полезные свойства SIC-POVM, было бы полезно, если бы было точно известно, можно ли построить такие множества в гильбертовом пространстве произвольной размерности. Первоначально предложенная в диссертации Заунера ^[7] была выдвинута гипотеза о существовании фидуциального вектора для произвольных размерностей.

Более конкретно,

Для каждого измерения существует SIC-POVM, элементы которого являются орбитой оператора положительного ранга один под группой Вейля – Гейзенберга . Более того, коммутирует с элементом T группы Якоби . Действие T на центр по модулю имеет порядок три. ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle H_{d}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})}$ ${\displaystyle H_{d}}$

Используя понятие групповой ковариации на , это можно переформулировать как ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$

Для любого измерения пусть будет ортонормированным базисом для и определим ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

${\displaystyle \displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|}$

Тогда такой, что набор представляет собой SIC-POVM. ${\displaystyle \exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}$

Частичные результаты

Доказательство существования SIC-POVM для произвольных измерений остается открытым вопросом ^[6] , но это постоянная область исследований в сообществе квантовой информации.

Точные выражения для наборов SIC были найдены для гильбертовых пространств всех размерностей от до включительно, а также в некоторых более высоких измерениях, таких как , всего для 115 значений . ^[a] Кроме того, используя ковариацию группы Гейзенберга на , численные решения были найдены для всех целых чисел до , а также в некоторых больших измерениях до . ^[б] ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d=53}$ ${\displaystyle d=5779}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ ${\displaystyle d=193}$ ${\displaystyle d=2208}$

Отношение к сферическим Т-образным конструкциям

Сферический t-дизайн — это набор векторов на d-мерной обобщенной гиперсфере , такой, что среднее значение полинома любого порядка равно среднему значению по всем нормализованным векторам . Определяя как t-кратное тензорное произведение гильбертовых пространств, и ${\displaystyle S=\left\{|\phi _{k}\rangle :|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}}$ ${\displaystyle t^{th}}$ ${\displaystyle f_{t}(\psi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{t}(\psi )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathcal {H}}}$

${\displaystyle S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\Phi _{k}^{t}\rangle \langle \Phi _{k}^{t}|,\quad |\Phi _{k}^{t}\rangle =|\phi _{k}\rangle ^{\otimes t}}$

в качестве оператора фрейма t-кратного тензорного произведения можно показать, что ^[8] набор нормализованных векторов с образует сферическую t-схему тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \left\{|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle n\geq {t+d-1 \choose d-1}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{j,k}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}}$

Отсюда сразу следует, что каждая SIC-POVM является 2-проектной, поскольку

${\displaystyle \mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=\displaystyle \sum _{j,k}|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle |^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}}$

что и является необходимым значением, удовлетворяющим приведенной выше теореме.

Отношение к MUB

В d -мерном гильбертовом пространстве два различных базиса называются взаимно несмещенными, если ${\displaystyle \left\{|\psi _{i}\rangle \right\},\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}}$

${\displaystyle \displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j}$

По своей природе это похоже на симметричное свойство SIC-POVM. Вуттерс указывает, что полный набор несмещенных базисов дает геометрическую структуру, известную как конечная проективная плоскость , в то время как SIC-POVM (в любом измерении, которое является простой степенью ) дает конечную аффинную плоскость , тип структуры, определение которой идентично. к конечной проективной плоскости с местами ролей точек и линий. В этом смысле проблемы SIC-POVM и взаимно несмещенных баз двойственны друг другу. ^[17] ${\displaystyle d+1}$

В размерности аналогию можно продолжить: полный набор взаимно несмещенных базисов можно построить непосредственно из SIC-POVM. ^[18] 9 векторов SIC-POVM вместе с 12 векторами взаимно несмещенных оснований образуют набор, который можно использовать в доказательстве Кохена-Спкера . ^[19] Однако в 6-мерном гильбертовом пространстве известен SIC-POVM, но полный набор взаимно несмещенных базисов еще не обнаружен, и широко распространено мнение, что такого набора не существует. ^{[20] [21]} ${\displaystyle d=3}$

Смотрите также

• Измерение в квантовой механике
• Взаимно несмещенные базы
• ПОВМ
• Кбизм

Примечания

1. Подробности этих точных решений можно найти в литературе. ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}
2. Как и точные решения, численные решения на протяжении многих лет представлялись в ряде публикаций разных авторов. ^{[8] [10] [15] [16] [5] [14]}

Рекомендации

1. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Шак, Рюдигер (сентябрь 2002 г.). «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти». Журнал математической физики . 43 (9): 4537–4559. arXiv : Quant-ph/0104088 . Бибкод : 2002JMP....43.4537C. дои : 10.1063/1.1494475. ISSN  0022-2488. S2CID  17416262.
2. Фукс, Калифорния; Сасаки, М. (2003). «Сжатие квантовой информации через классический канал: измерение« квантовости »набора квантовых состояний». Квант. Информация. Комп . 3 : 377–404. arXiv : Quant-ph/0302092 . Бибкод : 2003quant.ph..2092F.
3. Эпплби, Маркус; Фламмия, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (24 апреля 2017 г.). «SIC и алгебраическая теория чисел». Основы физики . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Бибкод : 2017FoPh...47.1042A. дои : 10.1007/s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018. S2CID  119334103.
4. CM Caves (1999); http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm.pdf
5. Фукс, Кристофер А.; Хоанг, Майкл С.; Стейси, Блейк К. (22 марта 2017 г.). «Вопрос SIC: история и состояние дел». Аксиомы . 6 (4): 21. arXiv : 1703.07901 . дои : 10.3390/axioms6030021 .
6. Эпплби, DM (2005). «SIC-POVM и расширенная группа Клиффорда». Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Бибкод : 2005JMP....46e2107A. дои : 10.1063/1.1896384.
7. Г. Заунер, Quantendesigns – Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Диссертация, Венский университет, 1999. http://www.gerhardzauner.at/documents/gz-quantendesigns.pdf.
8. Ренес, Джозеф М.; Блюм-Когоут, Робин; Скотт, Эй Джей; Пещеры, Карлтон М. (2004). «Симметричные информационно полные квантовые измерения». Журнал математической физики . 45 (6): 2171. arXiv : quant-ph/0310075 . Бибкод : 2004JMP....45.2171R. дои : 10.1063/1.1737053. S2CID  17371881.
9. А. Колдобский и Х. Кениг, «Аспекты изометрической теории банаховых пространств», в Справочнике по геометрии банаховых пространств, Vol. 1, под редакцией У.Б. Джонсона и Дж. Линденштрауса (Северная Голландия, Дордрехт, 2001), стр. 899–939.
10. Скотт, AJ; Грассль, М. (2010). «SIC-POVM: новое компьютерное исследование». Журнал математической физики . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Бибкод : 2010JMP....51d2203S. дои : 10.1063/1.3374022. S2CID  115159554.
11. Т.Я. Чиен. ``Равноугольные линии, проективная симметрия и красивые рамки ошибок. Кандидатская диссертация Оклендского университета (2015 г.); https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Tuan/Thesis.pdf
12. «Точные реперные векторы SIC» . Университет Сиднея . Проверено 07 марта 2018 г.
13. Эпплби, Маркус; Чиен, Туан-Йоу; Фламмия, Стивен; Уолдрон, Шейн (2018). «Построение точных симметричных информационно полных измерений на основе численных решений». Физический журнал A: Математический и теоретический . 51 (16): 165302. arXiv : 1703.05981 . Бибкод : 2018JPhA...51p5302A. дои : 10.1088/1751-8121/aab4cd. S2CID  119736328.
14. Стейси, Блейк С. (2021). Первый курс спорадических СИЦ. Чам, Швейцария: Springer. п. 6. ISBN 978-3-030-76104-2. ОКЛК  1253477267.
15. Фукс, Кристофер А.; Стейси, Блейк К. (21 декабря 2016 г.). «Кбизм: квантовая теория как справочник героя». arXiv : 1612.07308 [квант-ph].
16. Скотт, AJ (11 марта 2017 г.). «НИЦ: расширение списка решений». arXiv : 1703.03993 [квант-ph].
17. Вуттерс, Уильям К. (2004). «Квантовые измерения и конечная геометрия». arXiv : Quant-ph/0406032 .
18. Стейси, Блейк С. (2016). «SIC-POVM и совместимость квантовых состояний». Математика . 4 (2): 36. arXiv : 1404.3774 . дои : 10.3390/math4020036 .
19. Бенгтссон, Ингемар; Бланчфилд, Кейт; Кабельо, Адан (2012). «Неравенство Кохена – Спекера из SIC». Буквы по физике А. 376 (4): 374–376. arXiv : 1109.6514 . Бибкод : 2012PhLA..376..374B. doi :10.1016/j.physleta.2011.12.011. S2CID  55755390.
20. Грассл, Маркус (2004). «О SIC-POVM и MUB в измерении 6». arXiv : Quant-ph/0406175 .
21. Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (второе изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . стр. 313–354. ISBN 9781107026254. ОКЛК  967938939.