Угловое ускорение

Физическое количество

В физике угловое ускорение (обозначение α , альфа ) — это скорость изменения угловой скорости во времени . После двух типов угловой скорости, угловой скорости вращения и орбитальной угловой скорости , соответствующими типами углового ускорения являются: угловое ускорение вращения , включающее твердое тело вокруг оси вращения, пересекающей центр тяжести тела ; и орбитальное угловое ускорение с участием точечной частицы и внешней оси.

Угловое ускорение имеет физические размеры угла в квадрате времени, измеряемые в единицах СИ радиан на секунду в квадрате ( рад ⋅ с ^-2 ). В двух измерениях угловое ускорение представляет собой псевдоскаляр, знак которого считается положительным, если угловая скорость увеличивается против часовой стрелки или уменьшается по часовой стрелке, и отрицательным, если угловая скорость увеличивается по часовой стрелке или уменьшается против часовой стрелки. В трех измерениях угловое ускорение представляет собой псевдовектор . ^[1]

Для твердых тел угловое ускорение должно быть вызвано чистым внешним крутящим моментом . Однако для нежестких тел это не так: например, фигурист может ускорить вращение (тем самым получив угловое ускорение), просто сжимая руки и ноги внутрь, что не требует внешнего крутящего момента.

Орбитальное угловое ускорение точечной частицы

Частица в двух измерениях

В двух измерениях орбитальное угловое ускорение — это скорость, с которой изменяется двумерная орбитальная угловая скорость частицы относительно начала координат. Мгновенная угловая скорость ω в любой момент времени определяется выражением

ω знак равно v ⊥ р , {\ displaystyle \omega = {\ frac {v_ {\ perp} {r}},}

где - расстояние от начала координат и - поперечно-радиальная составляющая мгновенной скорости (т.е. составляющая, перпендикулярная вектору положения), которая по соглашению является положительной для движения против часовой стрелки и отрицательной для движения по часовой стрелке. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$

Следовательно, мгновенное угловое ускорение α частицы определяется выражением ^[2]

α знак равно d d т ( v ⊥ р ) . {\displaystyle \alpha = {\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}

Если разложить правую часть с помощью правила произведения дифференциального исчисления, это станет

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

В частном случае, когда частица совершает круговое движение вокруг начала координат, оно становится просто тангенциальным ускорением и исчезает (поскольку расстояние от начала координат остается постоянным), поэтому приведенное выше уравнение упрощается до ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$ ${\displaystyle a_{\perp }}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

В двух измерениях угловое ускорение представляет собой число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее направление. Знак условно принимают положительным, если угловая скорость увеличивается в направлении против часовой стрелки или уменьшается в направлении по часовой стрелке, а знак принимают отрицательным, если угловая скорость увеличивается в направлении по часовой стрелке или уменьшается в направлении против часовой стрелки. Угловое ускорение тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , например, при инвертировании одной оси или переключении двух осей.

Частица в трех измерениях

В трех измерениях орбитальное угловое ускорение — это скорость, с которой трехмерный вектор орбитальной угловой скорости изменяется со временем. Мгновенный вектор угловой скорости в любой момент времени определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

где – вектор положения частицы, ее расстояние от начала координат и вектор ее скорости. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Следовательно, орбитальное угловое ускорение представляет собой вектор, определяемый формулой ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

Разлагая эту производную с помощью правила произведения для перекрестных произведений и обычного правила частного, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

Поскольку справедливо , второй член можно переписать как . В случае, когда расстояние частицы от начала координат не меняется со временем (что включает в себя круговое движение как подслучай), второй член исчезает, и приведенная выше формула упрощается до ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

Из приведенного выше уравнения можно восстановить поперечно-радиальное ускорение в этом особом случае как:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

В отличие от двухмерного измерения, угловое ускорение в трех измерениях не обязательно должно быть связано с изменением угловой скорости ${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$ : если вектор положения частицы «закручивается» в пространстве, изменяя ее мгновенную плоскость углового смещения, то изменение направления углового смещения скорость по-прежнему будет создавать ненулевое угловое ускорение. Этого не может произойти, если вектор положения ограничен фиксированной плоскостью, и в этом случае он имеет фиксированное направление, перпендикулярное этой плоскости. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Вектор углового ускорения правильнее называть псевдовектором : он состоит из трех компонентов, которые при вращении преобразуются так же, как декартовы координаты точки, но не трансформируются, как декартовы координаты при отражениях.

Отношение к крутящему моменту

Чистый крутящий момент точечной частицы определяется как псевдовектор

τ знак равно р × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F},}

где - результирующая сила, действующая на частицу. ^[3] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Крутящий момент является вращательным аналогом силы: он вызывает изменение вращательного состояния системы, точно так же, как сила вызывает изменение поступательного состояния системы. Поскольку сила, действующая на частицу, связана с ускорением уравнением , можно написать аналогичное уравнение, связывающее крутящий момент на частице с угловым ускорением, хотя это соотношение обязательно сложнее. ^[4]

Во-первых, подставив в приведенное выше уравнение крутящий момент, получим ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

Из предыдущего раздела:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

где – орбитальное угловое ускорение, – орбитальная угловая скорость. Поэтому: ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

В частном случае постоянного расстояния частицы от начала координат ( ) второй член в приведенном выше уравнении обращается в нуль, и приведенное выше уравнение упрощается до ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

который можно интерпретировать как «вращательный аналог» , где величина (известная как момент инерции частицы) играет роль массы . Однако, в отличие от , это уравнение не применимо к произвольной траектории, а только к траектории, заключенной внутри сферической оболочки относительно начала координат. ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

Смотрите также

• Угловой момент
• Угловая частота
• Угловая скорость
• Веселость
• Вращательное ускорение
• Крутящий момент

Рекомендации

1. «Вращательные переменные». Либретексты . MindTouch. 18 октября 2016 г. Проверено 1 июля 2020 г.
2. Сингх, Сунил К. Угловая скорость. Университет Райса.
3. Сингх, Сунил К. Торк. Университет Райса.
4. Масхуд, К.К. Разработка и оценка концептуального перечня вращательной кинематики (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. стр. 52–54.