Наблюдаемость

В теории управления — видимое состояние системы.

Наблюдаемость — это мера того, насколько хорошо внутренние состояния системы могут быть выведены из знания ее внешних выходов. В теории управления наблюдаемость и управляемость линейной системы являются математическими дуалами .

Концепция наблюдаемости была введена венгерско-американским инженером Рудольфом Э. Кальманом для линейных динамических систем. ^{[1] [2]} Динамическая система, предназначенная для оценки состояния системы по измерениям выходных сигналов, называется наблюдателем состояния для этой системы, например, фильтры Калмана .

Определение

Рассмотрим физическую систему, смоделированную в представлении пространства состояний . Система называется наблюдаемой , если для каждой возможной эволюции векторов состояния и управления текущее состояние можно оценить, используя только информацию из выходов (физически это обычно соответствует информации, полученной от датчиков ). Другими словами, можно определить поведение всей системы из выходов системы. С другой стороны, если система не является наблюдаемой, существуют траектории состояний, которые невозможно различить, измеряя только выходы.

Линейные системы, не зависящие от времени

Для инвариантных во времени линейных систем в представлении пространства состояний существуют удобные тесты для проверки того, является ли система наблюдаемой. Рассмотрим систему SISO с переменными состояния (см. пространство состояний для получения подробной информации о системах MIMO ), заданную как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

Матрица наблюдаемости

Тогда и только тогда, когда ранг столбца матрицы наблюдаемости , определяемый как

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

равно , то система наблюдаема. Обоснованием этого теста является то, что если столбцы линейно независимы, то каждая из переменных состояния просматривается через линейные комбинации выходных переменных . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$

Связанные концепции

Индекс наблюдаемости

Индекс наблюдаемости линейной стационарной дискретной системы — это наименьшее натуральное число, для которого выполняется следующее: , где ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

Ненаблюдаемое подпространство

Ненаблюдаемое подпространство линейной системы является ядром линейного отображения, заданного формулой ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

где — множество непрерывных функций от до . также можно записать как ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

Поскольку система наблюдаема тогда и только тогда, когда , система наблюдаема тогда и только тогда, когда — нулевое подпространство. ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}$ ${\displaystyle N}$

Для ненаблюдаемого подпространства справедливы следующие свойства: ^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}$

Обнаруживаемость

Чуть более слабое понятие, чем наблюдаемость, — это обнаруживаемость . Система обнаруживается, если все ненаблюдаемые состояния стабильны. ^[4]

Условия обнаружения важны в контексте сенсорных сетей . ^{[5] [6]}

Линейные системы, изменяющиеся во времени

Рассмотрим непрерывную линейную систему, изменяющуюся во времени

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

Предположим, что заданы матрицы , и , а также входы и выходы и для всех тогда можно определить с точностью до аддитивного постоянного вектора , который лежит в нулевом пространстве , определяемом соотношением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$ ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

где — матрица перехода состояний . ${\displaystyle \varphi }$

Можно определить уникальное , если невырожденно . Фактически , невозможно отличить начальное состояние для от состояния , если находится в нулевом пространстве . ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Обратите внимание, что матрица, определенная выше, имеет следующие свойства: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$симметричен​
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$положительно полуопределен для ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$удовлетворяет уравнению

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^[7]

Обобщение матрицы наблюдаемости

Система наблюдаема в тогда и только тогда, когда существует интервал в такой, что матрица невырождена. ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

Если являются аналитическими, то система наблюдаема в интервале [ , ], если существует и положительное целое число k такое, что ^[8] ${\displaystyle A(t),C(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

где и определяется рекурсивно как ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$ ${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

Пример

Рассмотрим систему, аналитически изменяющуюся по матрицам и ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

Тогда , и поскольку эта матрица имеет ранг = 3, система наблюдаема на каждом нетривиальном интервале . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Нелинейные системы

Дана система , . Где вектор состояния, входной вектор и выходной вектор. должны быть гладкими векторными полями. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle f,g,h}$

Определим пространство наблюдения как пространство, содержащее все повторяющиеся производные Ли , тогда система наблюдаема в том и только том случае, если , где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[9]

Ранние критерии наблюдаемости в нелинейных динамических системах были открыты Гриффитом и Кумаром ^[10], Коу, Эллиотом и Тарном ^[11] и Сингхом ^{[12] .}

Существуют также критерии наблюдаемости для нелинейных систем, изменяющихся во времени. ^[13]

Статические системы и общие топологические пространства

Наблюдаемость также может быть охарактеризована для систем стационарного состояния (систем, обычно определяемых в терминах алгебраических уравнений и неравенств) или, в более общем смысле, для множеств в . ^{[14] [15]} Так же, как критерии наблюдаемости используются для прогнозирования поведения фильтров Калмана или других наблюдателей в случае динамической системы, критерии наблюдаемости для множеств в используются для прогнозирования поведения согласования данных и других статических оценщиков. В нелинейном случае наблюдаемость может быть охарактеризована для отдельных переменных, а также для поведения локального оценщика, а не только глобального поведения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Управляемость
• лемма Хаутуса
• Идентифицируемость
• Государственный наблюдатель
• Пространство состояний (элементы управления)

Ссылки

1. Калман, Р. Э. (1960). «Об общей теории систем управления». Труды IFAC, тома . 1 : 491–502. doi :10.1016/S1474-6670(17)70094-8.
2. Калман, Р. Э. (1963). «Математическое описание линейных динамических систем». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, Серия A: Управление . 1 (2): 152–192. doi :10.1137/0301010.
3. Зонтаг, Э.Д., «Математическая теория управления», Тексты по прикладной математике, 1998
4. "Управляемость и наблюдаемость" (PDF) . Получено 2024-05-19 .
5. Li, W.; Wei, G.; Ho, DWC; Ding, D. (ноябрь 2018 г.). «Взвешенно-равномерная обнаруживаемость для сенсорных сетей». Труды IEEE по нейронным сетям и системам обучения . 29 (11): 5790–5796. doi :10.1109/TNNLS.2018.2817244. PMID  29993845. S2CID  51615852.
6. Ли, В.; Ван, З.; Хо, ДВК; Вэй, Г. (2019). «Об ограниченности ковариаций ошибок для задач фильтрации консенсуса Калмана». Труды IEEE по автоматическому управлению . 65 (6): 2654–2661. doi : 10.1109/TAC.2019.2942826. S2CID  204196474.
7. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.
8. Эдуардо Д. Зонтаг, Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы.
9. Конспект лекций по теории нелинейных систем проф. доктор Д.Ельцема, проф. JMAScherpen и проф. Эйван дер Шафт.
10. Гриффит, Э. У.; Кумар, К. С. П. (1971). «О наблюдаемости нелинейных систем: I». Журнал математического анализа и приложений . 35 : 135–147. doi :10.1016/0022-247X(71)90241-1.
11. Коу, Шауин Р.; Эллиотт, Дэвид Л.; Тарн, Цых Джонг (1973). «Наблюдаемость нелинейных систем». Информация и управление . 22 : 89–99. doi : 10.1016/S0019-9958(73)90508-1 .
12. Сингх, Саджендра Н. (1975). «Наблюдаемость в нелинейных системах с неизмеримыми входами». Международный журнал системной науки . 6 (8): 723–732. doi :10.1080/00207727508941856.
13. Мартинелли, Агостино (2022). «Расширение условия ранга наблюдаемости на нелинейные системы, изменяющиеся во времени». Труды IEEE по автоматическому управлению . 67 (9): 5002–5008. doi :10.1109/TAC.2022.3180771. ISSN  0018-9286. S2CID  251957578.
14. Стэнли, GM; Мах, RSH (1981). «Наблюдаемость и избыточность в оценке данных процесса» (PDF) . Химическая инженерная наука . 36 (2): 259–272. Bibcode : 1981ChEnS..36..259S. doi : 10.1016/0009-2509(81)85004-X.
15. Стэнли, GM; Мах, RSH (1981). «Классификация наблюдаемости и избыточности в технологических сетях» (PDF) . Химическая инженерная наука . 36 (12): 1941–1954. doi :10.1016/0009-2509(81)80034-6.

Внешние ссылки

• «Наблюдаемость». PlanetMath .
• Функция MATLAB для проверки наблюдаемости системы
• Функция Mathematica для проверки наблюдаемости системы