В математической области теории категорий категория множеств , обозначаемая как Set , является категорией , объектами которой являются множества . Стрелки или морфизмы между множествами A и B являются полными функциями от A до B , а композиция морфизмов является композицией функций .
Многие другие категории (например , категория групп с групповыми гомоморфизмами в качестве стрелок) добавляют структуру к объектам категории множеств и/или ограничивают стрелки функциями определенного вида.
Аксиомы категории удовлетворяются множеством, поскольку композиция функций ассоциативна и поскольку каждое множество X имеет функцию тождества id X : X → X , которая служит элементом тождества для композиции функций.
Эпиморфизмы в Set являются сюръективными отображениями, мономорфизмы являются инъективными отображениями , а изоморфизмы являются биективными отображениями.
Пустой набор служит начальным объектом в Set с пустыми функциями в качестве морфизмов. Каждый синглтон является конечным объектом , с функциями, отображающими все элементы исходных наборов в один целевой элемент в качестве морфизмов. Таким образом, в Set нет нулевых объектов .
Категория Set является полной и ко-полной . Произведение в этой категории задается декартовым произведением множеств. Копроизведение задается дизъюнктным объединением : для заданных множеств A i , где i пробегает некоторый индексный набор I , мы строим копроизведение как объединение A i × { i } (декартово произведение с i служит для того, чтобы гарантировать, что все компоненты остаются дизъюнктными).
Множество является прототипом конкретной категории ; другие категории являются конкретными, если они «построены» на Множестве некоторым четко определенным образом.
Каждый двухэлементный набор служит классификатором подобъектов в Set . Объект мощности набора A задается его набором мощности , а экспоненциальный объект наборов A и B задается набором всех функций из A в B . Таким образом, Set является топосом (и, в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра ).
Множество не является абелевым , аддитивным или предаддитивным .
Каждое непустое множество является инъективным объектом в Set . Каждое множество является проективным объектом в Set (предполагая аксиому выбора ).
Конечно представимые объекты в Set — это конечные множества. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория Set является локально конечно представимой категорией .
Если C — произвольная категория, контравариантные функторы из C в Set часто являются важным объектом изучения. Если A — объект C , то функтор из C в Set , который переводит X в Hom C ( X , A ) (множество морфизмов в C из X в A ), является примером такого функтора. Если C — малая категория (т. е. совокупность ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в Set , вместе с естественными преобразованиями как морфизмами, образуют новую категорию, категорию функторов, известную как категория предпучков на C .
В теории множеств Цермело–Френкеля совокупность всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания . Коллекции, которые не являются множествами, называются собственными классами . Нельзя обращаться с собственными классами так же, как с множествами; в частности, нельзя написать, что эти собственные классы принадлежат коллекции (либо множеству, либо собственному классу). Это проблема, поскольку это означает, что категория множеств не может быть формализована напрямую в этой обстановке. Такие категории, как Set , чья совокупность объектов образует собственный класс, известны как большие категории , чтобы отличать их от малых категорий, объекты которых образуют множество.
Один из способов решения проблемы — работать в системе, которая придает формальный статус надлежащим классам, например, в теории множеств NBG . В этой обстановке категории, образованные из множеств, называются малыми , а те (например , Set ), которые образованы из надлежащих классов, называются большими .
Другое решение — предположить существование вселенных Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это множество, которое само по себе является моделью ZF(C) (например, если множество принадлежит вселенной, его элементы и его powerset будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества всех наследственно конечных множеств ) не подразумевается обычными аксиомами ZF; это дополнительная, независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию строго недоступных кардиналов . Предполагая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Set элементами конкретной вселенной. (В модели нет «множества всех множеств», но все еще можно рассуждать о классе U всех внутренних множеств, т. е. элементов U .)
В одном из вариантов этой схемы класс множеств является объединением всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно собственный класс , но каждая вселенная Гротендика является множеством, поскольку она является элементом некоторой большей вселенной Гротендика.) Однако напрямую с «категорией всех множеств» работать не приходится. Вместо этого теоремы выражаются в терминах категории Set U , объекты которой являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U , и затем показано, что они не зависят от конкретного выбора U. В качестве основы для теории категорий этот подход хорошо соответствует системе, подобной теории множеств Тарского–Гротендика , в которой нельзя напрямую рассуждать о собственных классах; ее главный недостаток заключается в том, что теорема может быть верна для всех Set U, но не для Set .
Были предложены различные другие решения и вариации вышеизложенного. [1] [2] [3]
Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств .
