Наивная теория множеств (книга)

Учебник математики Пола Халмоша 1960 года.

См. также Наивную теорию множеств по математической теме.

Первое издание

Наивная теория множеств — этоучебник по математике Пола Халмоша , в котором содержится введение в теорию множеств для студентов . ^[1] Первоначально опубликовано Ван Нострандом в 1960 году, ^[2] оно было переиздано в серии «Тексты для студентов по математике» Springer-Verlag в 1974 году ^{. [3]}

Хотя в названии говорится, что она наивна, что обычно означает отсутствие аксиом , в книге представлены все аксиомы теории множеств ZFC (кроме аксиомы основания ) и даются правильные и строгие определения базовых объектов. ^{[2] [4]} От «истинной» книги по аксиоматической теории множеств она отличается своим характером: в ней не обсуждаются аксиоматические мелочи, и почти ничего не говорится о сложных темах, таких как большие кардиналы . Вместо этого она пытается быть понятной тому, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Позже Халмош заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, на нее ушло около шести месяцев, и что книга «написала сама себя». ^[5]

Отсутствие аксиомы основания

Как отмечалось выше, в книге отсутствует Аксиома основания (также известная как Аксиома регулярности). Халмош постоянно дискутирует вокруг вопроса о том, может ли множество содержать само себя.

• п. 1: «множество также может быть элементом некоторого другого множества» (выделено автором)
• п. 3: «Это когда -либо верно? Это, конечно, неверно ни для одного разумного множества, которое кто-либо когда-либо видел». ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• п. 6: « ε … маловероятно, но не очевидно невозможно» ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Но Халмош позволяет нам доказать, что существуют определенные множества, которые не могут содержать сами себя.

• п. 44: Халмош позволяет нам доказать, что ∉ . Ибо если ∈ , то − { } все равно будет набором-преемником, потому что ≠ ∅ и не является преемником какого-либо натурального числа. Но не является подмножеством − { }, что противоречит определению как подмножества каждого последующего множества. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$
• п. 47: Халмош доказывает лемму о том, что «ни одно натуральное число не является подмножеством какого-либо из своих элементов». Это позволяет нам доказать, что ни одно натуральное число не может содержать само себя. Ведь если ∈ , где – натуральное число, то ⊂ ∈ , что противоречит лемме. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• п. 75: « Порядковый номер определяется как хорошо упорядоченное множество такое, что для всех в ; здесь , как и прежде, начальный сегмент ∈ < }». Упорядоченность колодца определяется следующим образом: если и являются элементами порядкового номера , то < означает ∈ (стр. 75-76). Выбрав символ < вместо ≤, Халмош подразумевает, что хороший порядок < является строгим (стр. 55-56). Это определение < делает невозможным наличие ∈ , где – элемент порядкового числа. Это потому, что ∈ означает < , что подразумевает ≠ (поскольку < является строгим), что невозможно. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )=\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )}$ ${\displaystyle \{\eta }$ ${\displaystyle \alpha :}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$
• п. 75: приведенное выше определение порядкового числа также делает невозможным наличие ∈ , где – порядковый номер. Это потому, что ∈ подразумевает = s( ). Это дает нам ∈ = s( ) = ∈ < }, что подразумевает < , что подразумевает ≠ (поскольку < является строгим), что невозможно. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{\eta }$ ${\displaystyle \alpha :}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Ошибки

• п. 4, строка 18: «Каин и Авель» должно быть «Сиф, Каин и Авель».
• п. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
• п. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
• п. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F(n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S(n, b)}».
• стр. 66, строка 16: «Рассмотрим, например, множество E всех тех пар (a,b), для которых (1,1) <= (a,b); множество E имеет (1,1) для его наименьший элемент.": утверждение неверно, поскольку (2,2) <= (1,1). Фактически (2x2+1)x2^1 = 10 <= (2x1+1)x2^2 = 12.

Смотрите также

• Список важных публикаций по математике

Библиография

• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранд, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке); Переиздание Дувра, 2017 г., ISBN 9780486814872  

Рекомендации

1. Обзор наивной теории множеств Х. Миркила (апрель 1961 г.), American Mathematical Monthly 68 (4): 392, doi : 10.2307/2311615.
2. Обзор наивной теории множеств , Л. Ригер, MR 0114756.
3. МР 0453532
4. Обзор наивной теории множеств , Альфонс Боргерс (июль 1969), Журнал символической логики 34 (2): 308, doi : 10.2307/2271138.
5. Юинг, Джон Х.; Геринг, Фредерик В., ред. (1991), Пол Халмос: празднование 50-летия математики, Springer-Verlag , Интервью Халмоша с Дональдом Дж. Альберсом, с. 16, ISBN 0-387-97509-8.