Абелева алгебра фон Неймана

В функциональном анализе абелева алгебра фон Неймана — это алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве , в которой все элементы коммутируют .

Прототипическим примером абелевой алгебры фон Неймана является алгебра L ^∞ ( X , μ) для μ — σ-конечной меры на X, реализованной как алгебра операторов в гильбертовом пространстве L ² ( X , μ) следующим образом: Каждый f ∈ L ^∞ ( X , μ) отождествляется с оператором умножения

${\displaystyle \psi \mapsto f\psi .}$

Особое значение имеют абелевы алгебры фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах, особенно потому, что они полностью классифицируются простыми инвариантами.

Хотя существует теория для алгебр фон Неймана на несепарабельных гильбертовых пространствах (и действительно, большая часть общей теории все еще верна в этом случае), теория значительно проще для алгебр на сепарабельных пространствах, и большинство приложений к другим областям математики или физики используют только сепарабельные гильбертовы пространства. Обратите внимание, что если мерное пространство ( X , μ) является стандартным мерным пространством (то есть X − N является стандартным борелевским пространством для некоторого нулевого множества N , а μ является σ-конечной мерой), то L ² ( X , μ) является сепарабельным.

Классификация

Связь между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогична связи между коммутативными C*-алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами . Каждая коммутативная алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна L ∞ ( X ) для некоторого стандартного пространства с мерой ( X , μ) и наоборот, для каждого стандартного пространства с мерой X , L ^∞ ( X ) является алгеброй фон Неймана. Этот изоморфизм, как указано, является алгебраическим изоморфизмом. Фактически, мы можем сформулировать это более точно следующим образом:

Теорема . Любая абелева алгебра фон Неймана операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве *-изоморфна ровно одному из следующих

• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1}$
• ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).}$

Изоморфизм можно выбрать так, чтобы сохранить слабую операторную топологию .

В приведенном выше списке интервал [0,1] имеет меру Лебега, а множества {1, 2, ..., n } и N имеют счетную меру. Объединения являются непересекающимися объединениями. Эта классификация по сути является вариантом теоремы классификации Махарама для разделимых алгебр с мерой. Версия теоремы классификации Махарама , которая является наиболее полезной, включает точечную реализацию эквивалентности и является своего рода народной теоремой .

Хотя каждое стандартное мерное пространство изоморфно одному из вышеперечисленных, и список является исчерпывающим в этом смысле, существует более канонический выбор для мерного пространства в случае абелевых алгебр фон Неймана A : множество всех проекторов является -полной булевой алгеброй, то есть точечно-свободной -алгеброй. В частном случае восстанавливается абстрактная -алгебра . Этот точечно-свободный подход может быть превращен в теорему двойственности, аналогичную двойственности Гельфанда между категорией абелевых алгебр фон Неймана и категорией абстрактных -алгебр. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Пусть μ и ν — неатомарные вероятностные меры на стандартных борелевских пространствах X и Y соответственно. Тогда существует μ нулевое подмножество N из X , ν нулевое подмножество M из Y и борелевский изоморфизм

${\displaystyle \phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad }$

который переносит μ в ν. ^[1]

Обратите внимание, что в приведенном выше результате необходимо отсечь наборы нулевых мер, чтобы результат заработал.

В приведенной выше теореме изоморфизм требуется для сохранения слабой операторной топологии. Как оказывается (и легко следует из определений), для алгебр L ^∞ ( X , μ) следующие топологии согласуются на множествах с ограниченной нормой:

1. Слабая операторная топология на L ^∞ ( X , μ);
2. Сверхслабая операторная топология на L ^∞ ( X , μ);
3. Топология слабой* сходимости на L ^∞ ( X , μ), рассматриваемая как двойственное пространство L ¹ ( X , μ).

Однако для абелевой алгебры фон Неймана A реализация A как алгебры операторов на сепарабельном гильбертовом пространстве весьма неоднозначна. Полная классификация реализаций операторной алгебры A дается теорией спектральной кратности и требует использования прямых интегралов .

Пространственный изоморфизм

Используя теорию прямого интеграла, можно показать, что абелевы алгебры фон Неймана вида L ^∞ ( X , μ), действующие как операторы на L ² ( X , μ), все являются максимальными абелевыми. Это означает, что они не могут быть расширены до абелевых алгебр большего размера. Их также называют максимальными абелевыми самосопряженными алгебрами (или MASA). Другое выражение, используемое для их описания, — абелевы алгебры фон Неймана равномерной кратности 1 ; это описание имеет смысл только по отношению к теории кратности, описанной ниже.

Алгебры фон Неймана A на H , B на K пространственно изоморфны ( или унитарно изоморфны ) тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

${\displaystyle UAU^{*}=B.}$

В частности, пространственно изоморфные алгебры фон Неймана алгебраически изоморфны.

Чтобы описать наиболее общую абелеву алгебру фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве H с точностью до пространственного изоморфизма, нам нужно обратиться к прямому интегральному разложению H. Детали этого разложения обсуждаются в разложении абелевых алгебр фон Неймана . В частности:

Теорема Любая абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве H пространственно изоморфна L ^∞ ( X , μ), действующей на

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)}$

для некоторого измеримого семейства гильбертовых пространств { H _x } _{x ∈ X} .

Отметим, что для абелевых алгебр фон Неймана, действующих на таких пространствах прямого интеграла, эквивалентность слабой операторной топологии, ультраслабой топологии и слабой* топологии на множествах с ограниченной нормой по-прежнему сохраняется.

Точечная и пространственная реализация автоморфизмов

Многие проблемы эргодической теории сводятся к проблемам об автоморфизмах абелевых алгебр фон Неймана. В этом отношении полезны следующие результаты:

Теорема . ^[2] Предположим, что μ, ν — стандартные меры на X , Y соответственно. Тогда любой инволютивный изоморфизм

${\displaystyle \Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )}$

который является слабо* -взаимно непрерывным, соответствует точечному преобразованию в следующем смысле: существуют борелевские нулевые подмножества M из X и N из Y и борелевский изоморфизм

${\displaystyle \eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N}$

такой что

1. η переводит меру μ в меру μ' на Y , которая эквивалентна ν в том смысле, что μ' и ν имеют одни и те же множества меры нуль;
2. η реализует преобразование Φ, то есть

${\displaystyle \Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.}$

Обратите внимание, что в общем случае мы не можем ожидать, что η перенесет μ в ν.

Следующий результат касается унитарных преобразований, которые индуцируют слабый*-бинепрерывный изоморфизм между абелевыми алгебрами фон Неймана.

Теорема . ^[3] Предположим, что μ, ν — стандартные меры на X , Y и

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

для измеримых семейств гильбертовых пространств { H _x } _{x ∈ X} , { K _y } _{y ∈ Y.} Если U  : H → K — унитарное пространство, такое что

${\displaystyle U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )}$

тогда существует почти всюду определенное точечное преобразование Бореля η : X → Y , как в предыдущей теореме, и измеримое семейство { U _x } _{x ∈ X} унитарных операторов

${\displaystyle U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}}$

такой что

${\displaystyle U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{\sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),}$

где выражение в знаке квадратного корня есть производная Радона–Никодима от μ η ⁻¹ по ν. Утверждение следует из объединения теоремы о точечной реализации автоморфизмов, изложенной выше, с теоремой, характеризующей алгебру диагонализируемых операторов, изложенной в статье о прямых интегралах .

Примечания

1. Богачев, В.И. (2007). Теория меры. Том. II . Спрингер-Верлаг. п. 275. ИСБН 978-3-540-34513-8.
2. Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Глава IV, Лемма 8.22, стр. 275
3. Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-X, Глава IV, Теорема 8.23, стр. 277

Ссылки

• Ж. Диксмье, Les algèbres d'operateurs dans l'espace Hilbertien , Gauthier-Villars, 1969. См. главу I, раздел 6.
• Теория операторных алгебр I, II, III Масамичи Такесаки », энциклопедия математических наук, Springer-Verlag, 2001–2003 (первый том был опубликован в 1979 году в 1-м издании) ISBN 3-540-42248-X