В логике формальные языки , используемые для создания выражений, состоят из символов , которые можно в целом разделить на константы и переменные . Константы языка можно далее разделить на логические символы и нелогические символы (иногда также называемые логическими и нелогическими константами ).
Нелогические символы языка логики первого порядка состоят из предикатов и индивидуальных констант. К ним относятся символы, которые в интерпретации могут обозначать индивидуальные константы, переменные , функции или предикаты . Язык логики первого порядка — это формальный язык над алфавитом, состоящий из его нелогических символов и его логических символов . Последние включают логические связки , квантификаторы и переменные, обозначающие утверждения .
Нелогический символ имеет значение или семантическое содержание только тогда, когда оно приписывается ему посредством интерпретации . Следовательно, предложение, содержащее нелогический символ, не имеет значения, за исключением интерпретации, поэтому предложение считается истинным или ложным при интерпретации . Эти концепции определяются и обсуждаются в статье о логике первого порядка , и в частности в разделе о синтаксисе .
Логические константы , напротив, имеют одно и то же значение во всех интерпретациях. Они включают символы для истинностно-функциональных связок (таких как «и», «или», «не», «подразумевает» и логической эквивалентности ) и символы для квантификаторов «для всех» и «существует».
Символ равенства иногда рассматривается как нелогический символ, а иногда как символ логики. Если он рассматривается как логический символ, то любая интерпретация потребуется для интерпретации знака равенства с использованием истинного равенства; если он интерпретируется как нелогический символ, он может быть интерпретирован произвольным отношением эквивалентности .
Сигнатура — это набор нелогических констант вместе с дополнительной информацией, идентифицирующей каждый символ как константный символ, или функциональный символ определенной арности n (натуральное число), или символ отношения определенной арности. Дополнительная информация управляет тем, как нелогические символы могут использоваться для формирования терминов и формул. Например, если f — это двоичный символ функции, а c — это константный символ, то f ( x , c ) — это термин, но c ( x , f ) — это не термин. Символы отношения не могут использоваться в терминах, но их можно использовать для объединения одного или нескольких (в зависимости от арности) терминов в атомарную формулу.
Например, сигнатура может состоять из символа бинарной функции +, символа константы 0 и символа бинарного отношения <.
Структуры над сигнатурой, также известные как модели , обеспечивают формальную семантику сигнатуры и языка первого порядка над ней.
Структура над сигнатурой состоит из множества (известного как область дискурса ) вместе с интерпретациями нелогических символов: Каждый константный символ интерпретируется элементом и интерпретация символа -арной функции является -арной функцией на то есть функцией от -кратного декартова произведения области на саму область. Каждый символ -арного отношения интерпретируется -арным отношением на области; то есть подмножеством
Примером структуры над сигнатурой, упомянутой выше, является упорядоченная группа целых чисел . Ее областью является множество целых чисел. Двоичный символ функции интерпретируется сложением, константный символ 0 — аддитивным тождеством, а двоичный символ отношения < — отношением меньше.
Вне математического контекста часто бывает более целесообразно работать с более неформальными интерпретациями.
Рудольф Карнап ввел терминологию, различающую логические и нелогические символы (которые он называл описательными знаками ) формальной системы в рамках определенного типа интерпретации , определяемой тем, что они описывают в мире.
Описательный знак определяется как любой символ формального языка, который обозначает вещи или процессы в мире, или свойства или отношения вещей. Это отличается от логических знаков , которые не обозначают ничего в мире объектов. Использование логических знаков определяется логическими правилами языка, тогда как значение произвольно приписывается описательным знакам, когда они применяются к данной области индивидов. [1]
