самолет Мура

В математике плоскость Мура , также иногда называемая плоскостью Немыцкого (или плоскостью Немыцкого , топологией касательного диска Немыцкого ), является топологическим пространством . Это полностью регулярное хаусдорфово пространство (то есть пространство Тихонова ), которое не является нормальным . Это пример пространства Мура , которое не метризуемо . Оно названо в честь Роберта Ли Мура и Виктора Владимировича Немыцкого .

Определение

Открытая окрестность плоскости Немыцкого, касательная к оси x

Если — (замкнутая) верхняя полуплоскость , то топологию можно определить, взяв локальную основу следующим образом: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)}$

• Элементами локального базиса в точках с являются открытые диски на плоскости, которые достаточно малы, чтобы лежать внутри . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• Элементами локального базиса в точках являются множества , где A — открытый круг в верхней полуплоскости, касающийся оси x в точке p . ${\displaystyle p=(x,0)}$ ${\displaystyle \{p\}\cup A}$

То есть, локальная основа задается как

${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(x-p)^{2}+(y-q)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(x-p)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}}$

Таким образом, топология подпространства , унаследованная от , совпадает с топологией подпространства, унаследованной от стандартной топологии евклидовой плоскости. ${\displaystyle \Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}}$

Графическое представление плоскости Мура

Характеристики

• Плоскость Мура отделима , то есть имеет счетное плотное подмножество. ${\displaystyle \Gamma }$
• Плоскость Мура — это полностью регулярное хаусдорфово пространство (т.е. пространство Тихонова ), которое не является нормальным .
• Подпространство имеет в качестве топологии подпространства дискретную топологию . Таким образом, плоскость Мура показывает, что подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным. ${\displaystyle \{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
• Плоскость Мура удовлетворяет первой аксиоме счетности , но не удовлетворяет второй аксиоме счетности или аксиоме Линделёфа .
• Плоскость Мура не является локально компактной .
• Плоскость Мура счетно метакомпактна , но не метакомпактна .

Доказательство того, что плоскость Мура не является нормальной

Тот факт, что это пространство не является нормальным, можно установить с помощью следующего подсчетного аргумента (который очень похож на аргумент о том, что плоскость Зоргенфрея не является нормальной): ${\displaystyle \Gamma }$

1. С одной стороны, счетное множество точек с рациональными координатами плотно в ; следовательно, каждая непрерывная функция определяется своим ограничением на , поэтому на может быть не более многих непрерывных вещественных функций . ${\displaystyle S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f:\Gamma \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$
2. С другой стороны, вещественная прямая — это замкнутое дискретное подпространство с множеством точек. Поэтому существует множество непрерывных функций из L в . Не все эти функции можно расширить до непрерывных функций на . ${\displaystyle L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. Следовательно, не является нормальным, поскольку по теореме Титце о продолжении все непрерывные функции, определенные на замкнутом подпространстве нормального пространства, могут быть продолжены до непрерывной функции на всем пространстве. ${\displaystyle \Gamma }$

На самом деле, если X — сепарабельное топологическое пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальным.

Смотрите также

• Пространство для ежа

Ссылки

• Стивен Уиллард. Общая топология , (1970) Addison-Wesley ISBN  0-201-08707-3 .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446 (Пример 82)
• «Плоскость Немыцкого». PlanetMath .