Неполный интеграл Ферми–Дирака

В математике неполный интеграл Ферми-Дирака , названный в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , для индекса и параметра задается формулой ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b){\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t}$

Его производная —

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {F} _{j}(x,b)=\operatorname {F} _{j-1}(x,b)}$

и это производное соотношение может быть использовано для нахождения значения неполного интеграла Ферми-Дирака для неположительных индексов . ^[1] ${\displaystyle j}$

Это альтернативное определение неполного полилогарифма , поскольку:

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{e^{x}}}+1}}\;\mathrm {d} t=-{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{-e^{x}}}-1}}\;\mathrm {d} t=-\operatorname {Li} _{j+1}(b,-e^{x})}$

Что может быть использовано для подтверждения личности:

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{j+1}}}{\frac {\Gamma (j+1,nb)}{\Gamma (j+1)}}e^{nx}}$

где — гамма-функция , а — верхняя неполная гамма-функция . Поскольку , то следует, что: ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,y)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,0)=\operatorname {F} _{j}(x)}$

где — полный интеграл Ферми-Дирака . ${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x)}$

Особые ценности

Замкнутая форма функции существует для : ^[1] ${\displaystyle j=0}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{0}(x,b)=\ln \!{\big (}1+e^{x-b}{\big )}-(b-x)}$

Смотрите также

• Полный интеграл Ферми–Дирака
• Статистика Ферми-Дирака
• Неполный полилогарифм
• Полилогарифм

Ссылки

1. Guano, Michele (1995). «Алгоритм 745: вычисление полного и неполного интеграла Ферми-Дирака». ACM Transactions on Mathematical Software . 21 (3): 221–232. doi :10.1145/210089.210090 . Получено 26 июня 2024 г. .

Внешние ссылки

• Научная библиотека GNU - Справочное руководство

• Вайсштейн, Эрик В. "Распределение Ферми-Дирака". MathWorld .