Неприводимый элемент

В алгебре элемент без нетривиальных множителей

В алгебре неприводимый элемент области целостности — это ненулевой элемент, который не является обратимым (то есть не является единицей ) и не является произведением двух необратимых элементов.

Неприводимые элементы являются конечными элементами процесса факторизации ; то есть, это множители, которые не могут быть далее факторизованы. Если неприводимые множители каждого ненулевого неединичного элемента определены однозначно, с точностью до умножения на единицу, то область целостности называется областью уникальной факторизации , но это не обязательно должно происходить в общем случае для каждой области целостности. В 19 веке было обнаружено, что кольца целых чисел некоторых числовых полей не являются областями уникальной факторизации, и, следовательно, что некоторые неприводимые элементы могут появляться в некоторой факторизации элемента и не появляться в других факторизациях того же элемента. Незнание этого факта является главной ошибкой во многих неправильных доказательствах Великой теоремы Ферма , которые были даны в течение трех столетий между утверждением Ферма и доказательством Великой теоремы Ферма Уайлсом .

Если — область целостности, то — неприводимый элемент из тогда и только тогда, когда для всех уравнение подразумевает, что идеал, порожденный , равен идеалу, порожденному , или равен идеалу, порожденному . Эта эквивалентность не выполняется для общих коммутативных колец, поэтому предположение о том, что кольцо не имеет ненулевых делителей нуля, обычно делается в определении неприводимых элементов. Это также приводит к тому, что существует несколько способов расширить определение неприводимого элемента до произвольного коммутативного кольца . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b,c\in R}$ ${\displaystyle a=bc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Связь с первичными элементами

Неприводимые элементы не следует путать с простыми элементами . (Ненулевой неединичный элемент в коммутативном кольце называется простым, если, всякий раз, когда для некоторых и в то или ) В целостной области каждый простой элемент неприводим, ^{[a] [2]} но обратное в общем случае неверно. Обратное верно для областей уникальной факторизации ^[2] (или, в более общем случае, областей НОД ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\mid bc}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Более того, в то время как идеал, порождённый простым элементом, является простым идеалом , в общем случае неверно, что идеал, порождённый неприводимым элементом, является неприводимым идеалом . Однако, если является областью НОД и является неприводимым элементом , то, как отмечено выше, является простым, и поэтому идеал, порождённый является простым (следовательно, неприводимым) идеалом . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

Пример

В квадратичном кольце целых чисел можно показать с помощью норменных аргументов, что число 3 неприводимо. Однако оно не является простым элементом в этом кольце, поскольку, например, ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

но 3 не делит ни один из двух множителей. ^[3]

Смотрите также

• Неприводимый многочлен

Примечания

1. Рассмотрим простой элемент и предположим Тогда так или Скажем так для некоторого . Тогда имеем и так Поскольку — область целостности, то имеем Следовательно — единица и неприводима. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p=ab.}$ ${\displaystyle p\mid ab,}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$ ${\displaystyle p\mid a,}$ ${\displaystyle a=pc}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle p=ab=pcb,}$ ${\displaystyle p(1-cb)=0.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle cb=1.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Ссылки

1. Андерсон, ДД; Вальдес-Леон, Сильвия (1996-06-01). «Факторизация в коммутативных кольцах с делителями нуля». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 26 (2): 439–480. doi : 10.1216/rmjm/1181072068 . ISSN  0035-7596.
2. Sharpe, David (1987). Кольца и факторизация . Cambridge University Press . стр. 54. ISBN 0-521-33718-6. Збл  0674.13008.
3. Уильям У. Адамс и Ларри Джоэл Голдштейн (1976), Введение в теорию чисел , стр. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9