Неравенство Клаузиуса–Дюгема

Выражение термодинамического закона

Неравенство Клаузиуса –Дюгема ^{[1] [2]} — это способ выражения второго закона термодинамики , который используется в механике сплошных сред . Это неравенство особенно полезно при определении того, является ли определяющее отношение материала термодинамически допустимым. ^[3]

Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о рассеянии энергии. Оно было названо в честь немецкого физика Рудольфа Клаузиуса и французского физика Пьера Дюгема .

Неравенство Клаузиуса–Дюгема в терминах удельной энтропии

Неравенство Клаузиуса–Дюгема можно выразить в интегральной форме как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho \eta \,dV\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho \eta \left(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \right)dA-\int _{\partial \Omega }{\frac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

В этом уравнении — время, представляет тело, а интегрирование ведется по объему тела, представляет поверхность тела, — плотность массы тела, — удельная энтропия (энтропия на единицу массы), — нормальная скорость , — скорость частиц внутри , — единичная нормаль к поверхности, — вектор теплового потока , — источник энергии на единицу массы, — абсолютная температура . Все переменные являются функциями материальной точки в момент времени . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

В дифференциальной форме неравенство Клаузиуса–Дюгема можно записать как

${\displaystyle \rho {\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

где — производная по времени , а — дивергенция вектора . ${\displaystyle {\dot {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Доказательство

Предположим, что — произвольный фиксированный контрольный объем . Тогда и производную можно взять внутри интеграла, чтобы получить ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~dA-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~dV.}$

Используя теорему о расходимости , получаем

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )~dV-\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)~dV+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

Поскольку является произвольным, мы должны иметь ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho s}{T}}.}$

Расширение

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}(\rho ~\eta )\cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

или,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -\eta ~{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} -\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}}$

или,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} +\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} \right)\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Теперь материальные производные по времени от и определяются как ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} ~;~~{\dot {\eta }}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} .}$

Поэтому,

${\displaystyle \left({\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Из закона сохранения массы . Следовательно, ${\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Неравенство Клаузиуса–Дюгема в терминах удельной внутренней энергии

Неравенство можно выразить через внутреннюю энергию как

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

где — производная по времени удельной внутренней энергии (внутренней энергии на единицу массы), — напряжение Коши , — градиент скорости. Это неравенство включает баланс энергии и баланс линейного и углового импульса в выражение для неравенства Клаузиуса–Дюгема. ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} }$

Доказательство

Используя тождество в неравенстве Клаузиуса–Дюгема, получаем ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\varphi ~\mathbf {v} )=\varphi ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\frac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}.}$

Теперь, используя индексную запись относительно декартовой системы координат , ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\cfrac {1}{T}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(T^{-1}\right)~\mathbf {e} _{j}=-\left(T^{-2}\right)~{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{j}=-{\frac {1}{T^{2}}}~{\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Следовательно,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} +{\cfrac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s\right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Из баланса энергии

${\displaystyle \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s=0\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s).}$

Поэтому,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq {\frac {1}{T}}\left(\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {\eta }}~T\geq \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}$

Перестановка,

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

ЧТЭК

Рассеивание

Количество

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}\geq 0}$

называется диссипацией , которая определяется как скорость производства внутренней энтропии на единицу объема, умноженная на абсолютную температуру . Поэтому неравенство Клаузиуса–Дюгема также называется неравенством диссипации . В реальном материале диссипация всегда больше нуля.

Смотрите также

• Энтропия
• Второй закон термодинамики

Ссылки

1. Трусделл, Клиффорд (1952), «Механические основы упругости и гидродинамики», Журнал рациональной механики и анализа , 1 : 125–300.
2. Truesdell, Clifford & Toupin, Richard (1960), "Классические полевые теории механики", Handbuch der Physik , т. III, Берлин: Springer.
3. Фремон, М. (2006), «Неравенство Клаузиуса–Дюгема, интересное и продуктивное неравенство», Негладкая механика и анализ , Достижения в механике и математике, т. 12, Нью-Йорк: Springer, стр. 107–118, doi :10.1007/0-387-29195-4_10, ISBN 0-387-29196-2.

Внешние ссылки

• Воспоминания Клиффорда Трусделла Бернарда Д. Коулмена, Journal of Elasticity, 2003.
• Размышления о термомеханике Уолтера Нолла , 2008.