Неравенство Милнора–Вуда

В математике , а точнее в дифференциальной геометрии и геометрической топологии , неравенство Милнора–Вуда является препятствием для наделения расслоений окружностей над поверхностями плоской структурой. Оно названо в честь Джона Милнора и Джона В. Вуда.

Плоские пучки

Для линейных расслоений плоскостность определяется как исчезновение формы кривизны ассоциированной связности . Произвольное гладкое (или топологическое) d -мерное расслоение является плоским, если его можно наделить слоением коразмерности d, которое трансверсально к волокнам.

Неравенство

Неравенство Милнора–Вуда названо в честь двух отдельных результатов, которые были доказаны Джоном Милнором и Джоном В. Вудом. Оба они имеют дело с ориентируемыми расслоениями окружностей над замкнутой ориентированной поверхностью положительного рода g . ${\displaystyle \Sigma _{g}}$

Теорема (Милнор, 1958) ^[1] Пусть — плоское ориентированное линейное расслоение окружностей. Тогда число Эйлера расслоения удовлетворяет . ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle |e(\pi )|\leq g-1}$

Теорема (Вуд, 1971) ^[2] Пусть — плоское ориентированное топологическое расслоение окружностей. Тогда число Эйлера расслоения удовлетворяет . ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle |e(\pi )|\leq 2g-2}$

Теорема Вуда подразумевает более старый результат Милнора, поскольку гомоморфизм, классифицирующий линейное плоское расслоение окружностей, приводит к топологическому расслоению окружностей посредством двукратного накрывающего отображения , удваивая число Эйлера. ${\displaystyle \pi _{1}:\Sigma \to SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\to PSL(2,\mathbb {R} )\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S^{1})}$

Любое из этих двух утверждений можно подразумевать, ссылаясь на неравенство Милнора–Вуда.

Ссылки

1. Дж. Милнор. «О существовании связи нулевой кривизны». Комментарий. Math. Helv. 21 (1958): 215–223.
2. J. Wood (1971). «Расслоения с полностью несвязной структурной группой» (PDF) . Комментарий. Math. Helv. 46 (1971): 257–273. doi :10.1007/BF02566843. S2CID  121003993.