Неравенство Пэли–Зигмунда

Уравнение вероятности в математике

В математике неравенство Пейли–Зигмунда ограничивает вероятность того, что положительная случайная величина мала, в терминах ее первых двух моментов . Неравенство было доказано Рэймондом Пейли и Энтони Зигмундом .

Теорема : Если Z  ≥ 0 — случайная величина с конечной дисперсией, и если , то ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq (1-\theta )^{2}{\frac {\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}.}$

Доказательство : Во-первых,

${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z\leq \theta \operatorname {E} [Z]\}}]+\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}].}$

Первое слагаемое не более , а второе не более по неравенству Коши–Шварца . Тогда следует требуемое неравенство. ∎ ${\displaystyle \theta \operatorname {E} [Z]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}}$

Связанные неравенства

Неравенство Пэли–Зигмунда можно записать как

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}$

Это можно улучшить ^{[ требуется ссылка ]} . По неравенству Коши–Шварца ,

${\displaystyle \operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}}$

что после перестановки означает, что

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}}.}$

Это неравенство является точным; равенство достигается, если Z почти наверняка равно положительной константе.

В свою очередь, это подразумевает другую удобную форму (известную как неравенство Кантелли ), которая имеет вид

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\mu -\theta \sigma )\geq {\frac {\theta ^{2}}{1+\theta ^{2}}},}$

где и . Это следует из подстановки, справедливой при . ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [Z]}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} [Z]}$ ${\displaystyle \theta =1-\theta '\sigma /\mu }$ ${\displaystyle 0\leq \mu -\theta \sigma \leq \mu }$

Усиленная форма неравенства Пэли-Зигмунда утверждает, что если Z — неотрицательная случайная величина, то

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}}$

для каждого . Это неравенство получается путем применения обычного неравенства Пэли-Зигмунда к условному распределению Z, учитывая, что оно положительно, и отмечая, что различные множители сокращаются. ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (Z>0)}$

И это неравенство, и обычное неравенство Пэли-Зигмунда также допускают версии: ^[1] Если Z — неотрицательная случайная величина и тогда ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{p/(p-1)}\,\operatorname {E} [Z]^{p/(p-1)}}{\operatorname {E} [Z^{p}]^{1/(p-1)}}}.}$

для каждого . Это следует из того же доказательства, что и выше, но с использованием неравенства Гёльдера вместо неравенства Коши-Шварца. ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$

Смотрите также

• Неравенство Кантелли
• Метод второго момента
• Неравенство концентрации – сводка хвостовых границ случайных величин.

Ссылки

1. Петров, Валентин В. (1 августа 2007 г.). «О нижних границах для хвостовых вероятностей». Журнал статистического планирования и вывода . 137 (8): 2703–2705. doi :10.1016/j.jspi.2006.02.015.

Дальнейшее чтение

• Paley, REAC; Zygmund, A. (апрель 1932 г.). «О некоторых рядах функций, (3)». Математические труды Кембриджского философского общества . 28 (2): 190–205. Bibcode :1932PCPS...28..190P. doi :10.1017/S0305004100010860. S2CID  178702376.
• Paley, REAC; Zygmund, A. (июль 1932 г.). «Заметка об аналитических функциях в единичном круге». Математические труды Кембриджского философского общества . 28 (3): 266–272. Bibcode :1932PCPS...28..266P. doi :10.1017/S0305004100010112. S2CID  122832495.