Неравенство Шура

В математике неравенство Шура , названное в честь Иссая Шура , устанавливает, что для всех неотрицательных действительных чисел x , y , z и t>0 ,

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда x = y = z или два из них равны, а третий равен нулю. Когда t — четное положительное целое число , неравенство выполняется для всех действительных чисел x , y и z .

Когда , можно вывести следующий известный частный случай: ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)}$

Доказательство

Так как неравенство симметрично относительно , ​​то без потери общности можно предположить, что . Тогда неравенство ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x\geq y\geq z}$

${\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0}$

очевидно, выполняется, поскольку каждый член в левой части неравенства неотрицателен. Это перестраивается в неравенство Шура.

Расширения

Обобщение неравенства Шура следующее: Предположим, что a,b,c — положительные действительные числа. Если тройки (a,b,c) и (x,y,z) отсортированы аналогичным образом , то выполняется следующее неравенство:

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}$

В 2007 году румынский математик Валентин Ворнику показал, что справедлива еще одна обобщенная форма неравенства Шура:

Рассмотрим , где , и либо , либо . Пусть , и пусть будет либо выпуклым , либо монотонным . Тогда, ${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ${\displaystyle x\geq y\geq z}$ ${\displaystyle z\geq y\geq x}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.}$

Стандартная форма Шура — это случай неравенства, где x = a , y = b , z = c , k = 1, ƒ ( m ) = m ^r . ^[1]

Другое возможное расширение гласит, что если неотрицательные действительные числа с и положительное действительное число t таковы, что x  +  v  ≥  y  +  z, то ^[2] ${\displaystyle x\geq y\geq z\geq v}$

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0.}$

Примечания

1. Ворнику, Валентин; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta ; Издательство ГИЛ; Залау, Румыния.
2. Finta, Béla (2015). «Неравенство типа Шура для пяти переменных». Procedia Technology . 19 : 799–801. doi : 10.1016/j.protcy.2015.02.114 .