Несвязное объединение

В математике операция над множествами

В математике непересекающееся объединение (или дискриминированное объединение ) множеств A и B — это множество, образованное из элементов A и B, помеченных (индексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A , так и B, появляется дважды в непересекающемся объединении с двумя разными метками. ${\displaystyle A\sqcup B}$

Непересекающееся объединение индексированного семейства множеств — это множество, часто обозначаемое с инъекцией каждого в , так что образы этих инъекций образуют разбиение ( то есть каждый элемент принадлежит ровно одному из этих образов). Непересекающееся объединение семейства попарно непересекающихся множеств — это их объединение . ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В теории категорий непересекающееся объединение является копроизведением категории множеств и, таким образом, определяется с точностью до биекции . В этом контексте часто используется обозначение . ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

Непересекающееся объединение двух множеств и записывается с помощью инфиксной записи как . Некоторые авторы используют альтернативную запись или (вместе с соответствующим или ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$ ${\displaystyle A\uplus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

Стандартный способ построения несвязного объединения — определить как множество упорядоченных пар, таких что и инъекцию как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$ ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Пример

Рассмотрим наборы и Можно индексировать элементы набора в соответствии с началом набора, формируя связанные наборы. ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

где второй элемент в каждой паре соответствует нижнему индексу исходного набора (например, in соответствует нижнему индексу in и т. д.). Затем непересекающееся объединение можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle A_{0},}$ ${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$ $${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

Определение теории множеств

Формально, пусть — индексированное семейство множеств, индексированное по Непересекающееся объединение этого семейства — это множество Элементы непересекающегося объединения — упорядоченные пары Здесь служит вспомогательным индексом, указывающим, откуда взялся элемент . ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ ${\displaystyle I.}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle (x,i).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle x}$

Каждое из множеств канонически изоморфно множеству Благодаря этому изоморфизму можно считать, что канонически вложено в непересекающееся объединение. Так как множества и являются непересекающимися, даже если множества и не являются таковыми. ${\displaystyle A_{i}}$ $${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

В предельном случае , когда каждый из равен некоторому фиксированному набору для каждого, то непересекающееся объединение является декартовым произведением и : ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

Иногда эта нотация используется для непересекающегося объединения семейства множеств или для непересекающегося объединения двух множеств. Эта нотация подразумевает, что мощность непересекающегося объединения равна сумме мощностей членов семейства. Сравните это с нотацией для декартова произведения семейства множеств. $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle A+B}$

На языке теории категорий дизъюнктное объединение является копроизведением в категории множеств . Поэтому оно удовлетворяет связанному универсальному свойству . Это также означает, что дизъюнктное объединение является категорическим двойственным к конструкции декартова произведения . Подробнее см. в Копроизведении .

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса не важен, и в упрощенном злоупотреблении обозначением индексированное семейство можно рассматривать просто как коллекцию множеств. В этом случае упоминается как копия и иногда используется обозначение . ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Точка зрения теории категорий

В теории категорий дизъюнктное объединение определяется как копроизведение в категории множеств.

Таким образом, непересекающееся объединение определяется с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной из реализаций копроизведения среди прочих. Когда множества попарно непересекающиеся, обычное объединение является другой реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение в начале.

Этот категориальный аспект дизъюнктного объединения объясняет, почему его часто используют вместо обозначения копроизведения . ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle \bigsqcup ,}$

Смотрите также

• Копроизведение  – Теоретико-категорийная конструкция
• Прямой предел  – Частный случай копредела в теории категорий
• Непересекающееся объединение (топология)  – пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Несвязное объединение графов  – объединение множеств вершин и ребер двух графов.
• Пересечение (теория множеств)  – множество элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список тождеств и отношений множеств  – Равенства для комбинаций множеств
• Разбиение множества  – Математические способы группировки элементов множества
• Тип суммы  – структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько различных, но фиксированных типов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Симметричная разность  – элементы находятся ровно в одном из двух множеств
• Тегированное объединение  – структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько различных, но фиксированных типов.
• Объединение (информатика)  — тип данных, который допускает значения, являющиеся одним из нескольких различных типов данных.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (Исправленное четвертое издание, пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Вайсштейн, Эрик В. «Несвязное объединение». MathWorld .