stringtranslate.com

Непереходные игральные кости

Набор игральных костей является нетранзитивным (или нетранзитивным), если он содержит X>2 игральных костей, X1 , X2 и X3 ... со свойством, что X1 выпадает выше, чем X2 более чем в половине случаев, а X2 выпадает выше, чем X3 и т. д. более чем в половине случаев, но где неверно, что X1 выпадает выше, чем Xn более чем в половине случаев. Другими словами, набор игральных костей является нетранзитивным, если бинарное отношение – X выпадает большее число, чем Y более чем в половине случаев – на его элементах не является транзитивным . Проще говоря, X1 обычно побеждает X2 , X2 обычно побеждает X3 , но X1 обычно не побеждает Xn .

Можно найти наборы игральных костей с еще более сильным свойством, что для каждой игральной кости в наборе есть другая кость, которая выбрасывает большее число, чем она, более чем в половине случаев. Это отличается тем, что вместо просто « A обычно не бьет C » теперь « C обычно бьет A ». Используя такой набор игральных костей, можно изобрести игры, которые предвзяты в том смысле, что люди, не привыкшие к нетранзитивным игральным костям, могут этого не ожидать (см. пример). [1] [2] [3] [4]

Пример

Пример нетранзитивных игральных костей (противоположные стороны имеют то же значение, что и показанные).

Рассмотрим следующий набор игральных костей.

Вероятность того , что A выбросит большее число, чем B , вероятность того, что B выбросит большее число, чем C , и вероятность того, что C выбросит большее число, чем A, равны ⁠5/9⁠ , поэтому этот набор кубиков нетранзитивен. Фактически, он обладает даже более сильным свойством, что для каждого кубика в наборе есть другой кубик, который выбрасывает большее число, чем он, более чем в половине случаев.

Теперь рассмотрим следующую игру, в которую играют с помощью набора игральных костей.

  1. Первый игрок выбирает кубик из набора.
  2. Второй игрок выбирает одну кость из оставшихся.
  3. Оба игрока бросают кубики; побеждает тот, у кого выпадет большее число.

Если в эту игру играют с транзитивным набором костей, она либо честна, либо предвзята в пользу первого игрока, потому что первый игрок всегда может найти кость, которая не будет побита никакой другой костью больше, чем в половине случаев. Однако, если в нее играют с набором костей, описанным выше, игра предвзята в пользу второго игрока, потому что второй игрок всегда может найти кость, которая побьет кость первого игрока с вероятностью ⁠5/9⁠ . В следующих таблицах показаны все возможные результаты для всех трех пар костей.

Если допустить взвешенные кости, т. е. с неравными вероятностными весами для каждой стороны, то альтернативные наборы из трех костей могут достичь даже больших вероятностей, чем то, что каждая кость побьет следующую в цикле. Наибольшая возможная вероятность равна единице, деленной на золотое сечение , . [5]

Вариации

Кости Эфрона

Игральные кости Эфрона — это набор из четырех нетранзитивных игральных костей, изобретенных Брэдли Эфроном . [6]

Изображение игральных костей Эфрона. Обратная сторона каждой кости имеет те же грани, что и передняя, ​​за исключением кости 5, 5, 1 (где обратная сторона 5 — это 1, а обратная сторона 1 — это 5).

На шести гранях четырех игральных костей A, B, C, D изображены следующие числа:

Каждая кость побеждается предыдущей костью в списке с циклом, с вероятностью ⁠2/3⁠ . C побеждает A с вероятностью ⁠5/9⁠ , и B и D имеют равные шансы победить друг друга. [6] Если у каждого игрока есть один набор костей Эфрона, существует континуум оптимальных стратегий для одного игрока, в котором они выбирают свою кость со следующими вероятностями, где 0 ≤ x ≤ ⁠3/7⁠ : [6]

P(выберите A) = x
P(выберите B) = ⁠1/2⁠ - ⁠5/6⁠ х
P(выберите C) = x
P(выберите D) = ⁠1/2⁠ - ⁠7/6⁠ х

Кости Мивина

Кости Мивина

Игральные кости Мивина были изобретены в 1975 году физиком Михаэлем Винкельманном.

Рассмотрим набор из трех игральных костей III, IV и V, такой что

Затем:

Уоррен Баффет

Уоррен Баффет известен как поклонник нетранзитивных игральных костей. В книге « Формула Фортуны: нерассказанная история научной системы ставок, которая победила казино и Уолл-стрит» описывается дискуссия между ним и Эдвардом Торпом . Баффет и Торп обсуждали их общий интерес к нетранзитивным игральным костям. «Это математическая диковинка, своего рода «трюковые» игральные кости, которые сбивают с толку представления большинства людей о вероятности».

Баффет однажды попытался выиграть в кости у Билла Гейтса , используя непереходные кости. «Баффет предложил каждому из них выбрать одну из костей, а затем сбросить две другие. Они делали ставки на то, кто чаще всего выбрасывает наибольшее число. Баффет предложил Гейтсу выбрать свою кость первым. Это предложение мгновенно возбудило любопытство Гейтса. Он попросил изучить кости, после чего потребовал, чтобы Баффет первым выбрал». [7]

В 2010 году журнал Wall Street Journal процитировал Шэрон Осберг, партнера Баффета по бриджу, которая сказала, что когда она впервые посетила его офис 20 лет назад, он обманом заставил ее сыграть в игру с непереходными костями, в которой нельзя было выиграть, и «считал это уморительным» [8] .

Непереходный набор кубиков для более чем двух игроков

Некоторые люди придумали вариации нетранзитивных игральных костей, в которых можно соревноваться с несколькими противниками.

Три игрока

Оскар Дайс

Оскар ван Девентер представил набор из семи игральных костей (все грани с вероятностью ⁠1/6⁠ ) ​​следующим образом: [9]

Можно проверить, что A бьет {B,C,E}; B бьет {C,D,F}; C бьет {D,E,G}; D бьет {A,E,F}; E бьет {B,F,G}; F бьет {A,C,G}; G бьет {A,B,D}. Следовательно, для произвольно выбранных двух костей существует третья, которая бьет их обе. А именно,

Что бы ни выбрали оба противника, третий игрок найдет одну из оставшихся костей, которая побьет кости обоих противников.

Кости грязи

Доктор Джеймс Грайм обнаружил набор из пяти игральных костей следующим образом: [10] [11]

В этом можно убедиться, если играть в игру с одним набором кубиков Грайма:

Однако, когда игра ведется с двумя такими наборами, то первая цепочка остается той же, за исключением того, что D бьет C, но вторая цепочка обратная (т.е. A бьет D бьет B бьет E бьет C бьет A). Следовательно, какие бы кости ни выбрали два противника, третий игрок всегда может найти одну из оставшихся костей, которая бьет их обоих (при условии, что игроку затем разрешается выбирать между вариантом с одним кубиком и вариантом с двумя кубиками):

Четыре игрока

Набор для игры вчетвером пока не обнаружен, но доказано, что для такого набора потребуется не менее 19 кубиков. [10] [12]

Непереходная 4-гранная игральная кость

Тетраэдры можно использовать в качестве игральных костей с четырьмя возможными результатами .

Набор 1

Р(А > В) = Р(В > С) = Р(С > А) = ⁠9/16⁠

В следующих таблицах показаны все возможные результаты:

В «А против Б» А побеждает в 9 из 16 случаев.

В «Б против В» в 9 из 16 случаев побеждает Б.

В «С против А» С побеждает в 9 из 16 случаев.


Набор 2

Р(А > В) = Р(В > С) = ⁠10/16⁠ , P(C > A) = 9/16

Непереходная 12-гранная игральная кость

По аналогии с нетранзитивными шестигранными костями существуют также додекаэдры, которые служат нетранзитивными двенадцатигранными костями . Очки на каждой из костей дают в сумме 114. На каждом из додекаэдров нет повторяющихся чисел.

Додекаэдры Мивина (набор 1) циклически побеждают друг друга в соотношении 35:34.

Додекаэдры мивина (набор 2) циклически побеждают друг друга в соотношении 71:67.

Набор 1:

Набор 2:

Нетранзитивная 12-гранная игральная кость с простым числом

Также возможно построить наборы нетранзитивных додекаэдров, такие, что не будет повторяющихся чисел и все числа будут простыми. Нетранзитивные додекаэдры Мивина с простыми числами циклически выигрывают друг у друга в соотношении 35:34.

Набор 1: сумма чисел составляет 564.

Набор 2: сумма чисел составляет 468.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Efron's Dice". Wolfram MathWorld . Получено 12 января 2021 г.
  2. ^ Богомольный, Александр . "Нетранзитивные кости". Cut the Knot . Архивировано из оригинала 2016-01-12.
  3. ↑ Savage, Richard P. (май 1994). «Парадокс нетранзитивных игральных костей». The American Mathematical Monthly . 101 (5): 429–436. doi :10.2307/2974903. JSTOR  2974903.
  4. ^ Rump, Christopher M. (июнь 2001 г.). «Стратегии игры в кости Эфрона». Mathematics Magazine . 74 (3): 212–216. doi :10.2307/2690722. JSTOR  2690722. Получено 12 января 2021 г.
  5. ^ Трибула, Станислав (1961). «О парадоксе трех случайных величин». Applicationes Mathematicae . 4 (5): 321–332.
  6. ^ abc Rump, Christopher M. (июнь 2001 г.). «Стратегии броска игральных костей Эфрона». Mathematics Magazine . 74 (3): 212–216. doi :10.2307/2690722. JSTOR  2690722. Получено 12 января 2021 г.
  7. ^ Билл Гейтс ; Джанет Лоу (1998-10-14). Говорит Билл Гейтс: взгляд величайшего предпринимателя мира. Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471293538. Получено 29.11.2011 .
  8. ^ «Как брак, только прочнее». Yahoo! Finance . The Wall Street Journal . 2010-12-06. Архивировано из оригинала 2010-12-10 . Получено 2011-11-29 .
  9. ^ Пегг, Эд-младший (2005-07-11). "Tournament Dice". Математические игры . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 2005-08-04 . Получено 2012-07-06 .
  10. ^ ab Грайм, Джеймс. "Non-transitive Dice". Архивировано из оригинала 2016-05-14.
  11. ^ Pasciuto, Nicholas (2016). «Тайна нетранзитивных игральных костей Grime». Обзор бакалавриата . 12 (1): 107–115 – через Bridgewater State University.
  12. ^ Рейд, Кеннет; Макрей, АА; Хедетниеми, СМ; Хедетниеми, Стивен (2004-01-01). «Доминирование и неизбыточность в турнирах». Австралийский журнал комбинаторики [только в электронном виде] . 29 .

Источники

Внешние ссылки