Число Вудалла

В теории чисел число Вудалла ( W _n ) — это любое натуральное число вида

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

для некоторого натурального числа n . Первые несколько чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … (последовательность A003261 в OEIS ).

История

Числа Вудала были впервые изучены Алланом Дж. К. Каннингемом и Х. Дж. Вудаллом в 1917 году ^[1], вдохновленными более ранним исследованием Джеймса Каллена аналогично определенных чисел Каллена .

Вудал праймс

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел Вудала?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Числа Вудалла, которые также являются простыми числами, называются простыми числами Вудалла ; первые несколько показателей степеней n, для которых соответствующие числа Вудалла W _n являются простыми числами, это 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... (последовательность A002234 в OEIS ); сами простые числа Вудалла начинаются с 7, 23, 383, 32212254719, ... (последовательность A050918 в OEIS ).

В 1976 году Кристофер Хули показал, что почти все числа Каллена являются составными . ^[2] В октябре 1995 года Уилфред Келлер опубликовал статью, в которой обсуждались несколько новых простых чисел Каллена и попытки разложить на множители другие числа Каллена и Вудалла. В эту статью включено личное сообщение Келлеру от Хироми Суямы, в котором утверждается, что метод Хули можно переформулировать, чтобы показать, что он работает для любой последовательности чисел n · 2 ^{n + a} + b , где a и b — целые числа , и, в частности, что почти все числа Вудалла являются составными. ^[3] Открытой является проблема , существует ли бесконечно много простых чисел Вудалла. По состоянию на октябрь 2018 года ^{[обновлять]}наибольшее известное простое число Вудала составляет 17016602 × 2 ^17016602  − 1. ^[4] Оно имеет 5 122 515 цифр и было найдено Диего Бертолотти в марте 2018 года в проекте распределенных вычислений PrimeGrid . ^[5]

Ограничения

Начиная с W ₄ = 63 и W ₅ = 159, каждое шестое число Вудала делится на 3; таким образом, для того, чтобы W _n было простым, индекс n не может быть сравним с 4 или 5 (по модулю 6). Кроме того, для положительного целого числа m число Вудала W _{2 ^m} может быть простым, только если 2 ^m + m является простым. По состоянию на январь 2019 года единственными известными простыми числами, которые являются как простыми числами Вудала, так и простыми числами Мерсенна, являются W ₂ = M ₃ = 7 и W ₅₁₂ = M ₅₂₁ .

Свойства делимости

Как и числа Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p — простое число, то p делит

W _{( p  + 1) / 2,} если символ Якоби равен +1 и ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

W _{(3 p  − 1) / 2,} если символ Якоби равен −1. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

Обобщение

Обобщенное число Вудалла по основанию b определяется как число вида n × b ⁿ  − 1, где n  + 2 >  b ; если простое число можно записать в этой форме, то оно называется обобщенным простым числом Вудалла .

Наименьшее значение n , такое что n × b ⁿ − 1 является простым числом для b = 1, 2, 3, ..., равно ^[6]

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (последовательность A240235 в OEIS )

По состоянию на ноябрь 2021 года ^{[обновлять]}наибольшее известное обобщенное простое число Вудалла с основанием больше 2 составляет 2740879 × 32 ^2740879  − 1. ^[7]

Смотрите также

• Простое число Мерсенна — простые числа вида 2 ⁿ  − 1.

Ссылки

1. Каннингем, А. Дж. С .; Вудол, Х. Дж. (1917), «Факторизация и », Вестник математики , 47 : 1–38 ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}$ ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}$.
2. Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Рекуррентные последовательности . Математические обзоры и монографии. Т. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . стр. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Збл  1033.11006.
3. Келлер, Уилфрид (январь 1995 г.). «Новые простые числа Каллена». Математика вычислений . 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN  0025-5718. Келлер, Вилфрид (декабрь 2013 г.). "Вилфрид Келлер". www.fermatsearch.org . Гамбург. Архивировано из оригинала 28 февраля 2020 г. . Получено 1 октября 2020 г. .
4. "The Prime Database: 8508301*2^17016603-1", Крис Колдуэлл, The Largest Known Primes Database , получено 24 марта 2018 г.
5. PrimeGrid , Объявление 17016602*2^17016602 - 1 (PDF) , получено 1 апреля 2018 г.
6. Список обобщенных простых чисел Вудалла с основанием 3 до 10000
7. "The Top Twenty: Generalized Woodall". primes.utm.edu . Получено 20 ноября 2021 г. .

Дальнейшее чтение

• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. раздел B20, ISBN 0-387-20860-7.
• Келлер, Уилфрид (1995), «Новые простые числа Каллена» (PDF) , Математика вычислений , 64 (212): 1733–1741, doi : 10.2307/2153382 , JSTOR  2153382.
• Колдуэлл, Крис, «The Top Twenty: Woodall Primes», The Prime Pages , получено 29 декабря 2007 г..

Внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​число Вудалла, и The Top Twenty: Woodall, и The Top Twenty: обобщенный Woodall, на The Prime Pages .
• Вайсштейн, Эрик В. "Число Вудалла". MathWorld .
• Стивен Харви, Список обобщенных простых чисел Вудалла.
• Пол Лейланд, Обобщенные числа Каллена и Вудала