В математике , а точнее в теории колец , левый, правый или двусторонний идеал кольца называется нулевым идеалом, если каждый из его элементов нильпотентен . [1] [2]
Нильрадикал коммутативного кольца является примером ниль-идеала; на самом деле, это идеал кольца, максимальный относительно свойства быть нулевым. К сожалению, множество нильпотентных элементов не всегда образует идеал для некоммутативных колец . Ниль-идеалы все еще связаны с интересными открытыми вопросами , особенно с нерешенной гипотезой Кёте .
В коммутативных кольцах нильидеалы понятны лучше, чем в некоммутативных кольцах, в первую очередь потому, что в коммутативных кольцах произведения, включающие нильпотентные элементы и суммы нильпотентных элементов, оба нильпотентны. Это происходит потому, что если a и b — нильпотентные элементы кольца R с a n = 0 и b m = 0, а r — любой элемент кольца R , то ( a · r ) n = a n · r n = 0, и по теореме о биноме Ньютона ( a + b ) m + n = 0. Следовательно, множество всех нильпотентных элементов образует идеал, известный как нильрадикал кольца. Поскольку нильрадикал содержит каждый нильпотентный элемент, идеал коммутативного кольца является нулевым тогда и только тогда, когда он является подмножеством нильрадикала, и поэтому нильрадикал является максимальным среди нильидеалов. Более того, для любого нильпотентного элемента a коммутативного кольца R идеал aR является нулевым. Однако для некоммутативного кольца в общем случае неверно, что множество нильпотентных элементов образует идеал или что a · R является нулевым (односторонним) идеалом, даже если a нильпотентен.
Теория ниль-идеалов имеет большое значение в некоммутативной теории колец. В частности, через понимание ниль-колец — колец, каждый элемент которых нильпотентен — можно достичь гораздо лучшего понимания более общих колец. [3]
В случае коммутативных колец всегда существует максимальный нуль-идеал: нильрадикал кольца. Существование такого максимального нуль-идеала в случае некоммутативных колец гарантируется тем фактом, что сумма нуль-идеалов снова равна нулю. Однако истинность утверждения о том, что сумма двух левых нуль-идеалов снова является левым нулевым идеалом, остается неуловимой; это открытая проблема, известная как гипотеза Кёте . [4] Гипотеза Кёте была впервые выдвинута в 1930 году и до сих пор остается нерешенной по состоянию на 2023 год.
Понятие ниль-идеала имеет глубокую связь с понятием нильпотентного идеала , и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, нулевой. Существуют два основных барьера для ниль-идеалов, чтобы быть нильпотентными:
Очевидно, что для того, чтобы нулевой идеал считался нильпотентным, необходимо избежать обоих этих барьеров.
В правом артиновом кольце любой ниль-идеал нильпотентен. [5] Это доказывается наблюдением, что любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, и поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновой гипотезы), результат следует. Фактически, это было обобщено на правые нётеровы кольца ; результат известен как теорема Левицкого . Особенно простое доказательство, принадлежащее Утуми, можно найти в (Herstein 1968, теорема 1.4.5, стр. 37).