Теорема Нэша–Мозера

Обобщение теоремы об обратной функции

В математической области анализа теорема Нэша –Мозера , открытая математиком Джоном Форбсом Нэшем и названная в его честь и в честь Юргена Мозера , является обобщением теоремы об обратной функции в банаховых пространствах на случай, когда требуемое отображение решения для линеаризованной задачи не ограничено.

Введение

В отличие от случая банахова пространства, в котором обратимость производной в точке достаточна для локальной обратимости отображения, теорема Нэша–Мозера требует, чтобы производная была обратима в окрестности. Теорема широко используется для доказательства локального существования нелинейных уравнений в частных производных в пространствах гладких функций . Она особенно полезна, когда обратная к производной функция «теряет» производные, и поэтому теорема о неявной функции в банаховом пространстве не может быть использована.

История

Теорема Нэша–Мозера восходит к Нэшу (1956), который доказал теорему в частном случае изометрической задачи погружения . Из его статьи ясно, что его метод можно обобщить. Например, Мозер (1966a, 1966b) показал, что методы Нэша могут быть успешно применены для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории КАМ . Однако оказалось довольно сложно найти подходящую общую формулировку; на сегодняшний день не существует всеобъемлющей версии; различные версии, принадлежащие Громову , Гамильтону , Хермандеру , Сен-Реймонду, Шварцу и Сергерарту, приведены в ссылках ниже. Особенно широко цитируется версия Гамильтона, цитируемая ниже.

Проблема потери деривативов

Это будет введено в исходной постановке теоремы Нэша–Мозера, то есть в изометрической задаче погружения. Пусть будет открытым подмножеством . Рассмотрим отображение, заданное В решении Нэша изометрической задачи погружения (как и следовало ожидать в решениях нелинейных уравнений с частными производными) основным шагом является утверждение схематической формы «Если таково, что является положительно определенным, то для любой матричной функции , которая близка к , существует с ». ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle P:C^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}}$$ $${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P(f)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P(f)}$ ${\displaystyle f_{g}}$ ${\displaystyle P(f_{g})=g}$

Следуя стандартной практике, можно было бы ожидать применения теоремы об обратной функции банахова пространства. Так, например, можно было бы ожидать ограничения P до и, для погружения в эту область, изучения линеаризации, заданной Если бы можно было показать, что это обратимо, с ограниченной обратной функцией, то теорема об обратной функции банахова пространства применяется напрямую. ${\displaystyle C^{5}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{5}(\Omega ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{4}(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))}$ $${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$$

Однако есть глубокая причина, по которой такая формулировка не может работать. Проблема в том, что существует дифференциальный оператор второго порядка , который совпадает с дифференциальным оператором второго порядка, примененным к . Точнее: если — погружение, то где — скалярная кривизна римановой метрики P ( f ), H ( f ) обозначает среднюю кривизну погружения , а h ( f ) обозначает его вторую фундаментальную форму; приведенное выше уравнение — это уравнение Гаусса из теории поверхностей. Итак, если P ( f ) — это C ⁴ , то R ^{P ( f )} — это, как правило, только C ² . Тогда, согласно приведенному выше уравнению, может быть, как правило, только C ⁴ ; если бы это было C ⁵ , то | H | ² − | h | ² должно было бы быть, по крайней мере, C ³ . Источник проблемы можно довольно кратко сформулировать следующим образом: уравнение Гаусса показывает, что существует дифференциальный оператор Q такой , что порядок композиции Q с P меньше суммы порядков P и Q. ${\displaystyle P(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},}$$ ${\displaystyle R^{P(f)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В контексте этого получается, что обратное отображение к линеаризации P , даже если оно существует как отображение C ^∞ (Ω; Sym _{n × n} ( )) → C ^∞ (Ω; ^N ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , не может быть ограничено между соответствующими банаховыми пространствами, и, следовательно, теорема о неявной функции в банаховом пространстве не может быть применена.

По точно таким же соображениям нельзя напрямую применить теорему о неявной функции в банаховом пространстве, даже если использовать пространства Гельдера, пространства Соболева или любое из пространств C ^k . В любой из этих ситуаций обратная к линеаризации P матрица не будет ограниченной.

Это проблема потери производных . Очень наивное ожидание состоит в том, что, как правило, если P — дифференциальный оператор порядка k , то если P(f) принадлежит C ^{m ,} то он должен принадлежать C ^{m + k} . Однако это встречается довольно редко. В случае равномерно эллиптических дифференциальных операторов известные оценки Шаудера показывают, что это наивное ожидание подтверждается, с оговоркой, что необходимо заменить пространства C ^k на пространства Гёльдера C ^{k ,α} ; это не вызывает никаких дополнительных трудностей для применения теоремы о неявной функции в банаховом пространстве. Однако приведенный выше анализ показывает, что это наивное ожидание не подтверждается для отображения, которое отправляет погружение в его индуцированную риманову метрику; учитывая, что это отображение имеет порядок 1, мы не получаем «ожидаемую» одну производную при инвертировании оператора. Та же самая неудача распространена в геометрических задачах, где действие группы диффеоморфизмов является первопричиной, и в задачах гиперболических дифференциальных уравнений, где даже в самых простых задачах нет наивно ожидаемой гладкости решения. Все эти трудности предоставляют общие контексты для приложений теоремы Нэша–Мозера. ${\displaystyle f}$

Схематическая форма решения Нэша

Этот раздел направлен только на описание идеи, и как таковой он намеренно неточен. Для конкретности предположим, что P является дифференциальным оператором первого порядка в некоторых функциональных пространствах, так что он определяет отображение P : C ^{k +1} → C ^k для каждого k . Предположим, что при некоторой функции C ^{k +1} линеаризация DP _f : C ^{k +1} → C ^k имеет правый обратный S : C ^k → C ^k ; на приведенном выше языке это отражает «потерю одной производной». Можно конкретно увидеть неудачу попытки использовать метод Ньютона для доказательства теоремы о неявной функции в банаховом пространстве в этом контексте: если g _∞ близок к P ( f ) в C ^k и определяется итерация , то f ₁ ∈ C ^{k +1} подразумевает, что g _∞ − P ( f _n ) принадлежит C ^k , а затем f ₂ принадлежит C ^k . По тем же соображениям f ₃ находится в C ^{k -1} , а f ₄ находится в C ^{k -2} и т. д. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, поскольку она потеряет всю регулярность, а следующий шаг даже не будет определен. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$$

Решение Нэша поразительно своей простотой. Предположим, что для каждого n >0 имеется сглаживающий оператор θ _n , который берет функцию C ^k , возвращает гладкую функцию и аппроксимирует тождество при больших n . Тогда «сглаженная» итерация Ньютона прозрачно не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности. Таким образом, мы имеем четко определенную последовательность функций; главный сюрприз подхода Нэша заключается в том, что эта последовательность фактически сходится к функции f _∞ с P ( f _∞ ) = g _∞ . Для многих математиков это довольно удивительно, поскольку «исправление» путем добавления сглаживающего оператора кажется слишком поверхностным, чтобы преодолеть глубокую проблему в стандартном методе Ньютона. Например, по этому поводу Михаил Громов говорит: $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$$

Вы должны быть новичком в анализе или гением вроде Нэша, чтобы поверить, что что-то подобное может быть правдой. [...] [Это] может показаться вам столь же реалистичным, как успешное выполнение вечного двигателя с механической реализацией демона Максвелла... если только вы не начнете следовать вычислениям Нэша и не поймете, к своему огромному удивлению, что сглаживание действительно работает.

Замечание. Истинная «сглаженная итерация Ньютона» немного сложнее, чем приведенная выше форма, хотя существует несколько неэквивалентных форм, в зависимости от того, где вы решили вставить сглаживающие операторы. Основное отличие состоит в том, что требуется обратимость DP _f для всей открытой окрестности выбора f , а затем используется «истинная» итерация Ньютона, соответствующая (используя однопеременную нотацию), в отличие от последней, которая отражает приведенные выше формы. Это довольно важно, поскольку улучшенная квадратичная сходимость «истинной» итерации Ньютона в значительной степени используется для борьбы с ошибкой «сглаживания», чтобы получить сходимость. Некоторые подходы, в частности Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве, а не итерации в функциональном пространстве; отношение последнего к первому по сути является отношением решения метода Эйлера к решению дифференциального уравнения. $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$ $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$$

Формулировка теоремы Гамильтона

Следующее утверждение появляется в работе Гамильтона (1982):

Пусть F и G — ручные пространства Фреше, пусть — открытое подмножество, а — гладкое ручное отображение. Предположим, что для каждого линеаризация обратима, а семейство обратных отображений, как отображение, является гладким ручным отображением. Тогда P локально обратимо, и каждое локальное обратное отображение является гладким ручным отображением. ${\displaystyle U\subseteq F}$ ${\displaystyle P:U\rightarrow G}$ ${\displaystyle f\in U}$ ${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$ ${\displaystyle U\times G\to F,}$ ${\displaystyle P^{-1}}$

Аналогично, если каждая линеаризация только инъективна, а семейство левых обратных является гладким ручным, то P локально инъективен. А если каждая линеаризация только сюръективна, а семейство правых обратных является гладким ручным, то P локально сюръективен с гладким ручным правым обратным.

Укрощение пространств Фреше

АГрадуированное пространство Фреше состоит из следующих данных:

• векторное пространство ${\displaystyle F}$
• счетный набор полунорм, такой что для всех требуется, чтобы они удовлетворяли следующим условиям: ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{n}:F\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{0}\leq \|f\|_{1}\leq \|f\|_{2}\leq \cdots }$$ ${\displaystyle f\in F.}$
  • если таково, что для всех то ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle \|f\|_{n}=0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle f=0}$
  • если есть последовательность такая, что для каждого существует такая , что влечет то существует такая, что для каждого из них ${\displaystyle f_{j}\in F}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{n,\varepsilon }}$ ${\displaystyle j,k>N_{n,\varepsilon }}$ ${\displaystyle \|f_{j}-f_{k}\|_{n}<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\|f_{j}-f\|_{n}=0.}$$

Такое градуированное пространство Фреше называетсяручное пространство Фреше, если оно удовлетворяет следующему условию:

• существует банахово пространство и линейные отображения и такие, что является тождественным отображением и такие, что: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L:F\to \Sigma (B)}$ ${\displaystyle M:\Sigma (B)\to F}$ ${\displaystyle M\circ L:F\to F}$
  • существует и такое, что для каждого существует число такое, что для каждого и для каждого ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n>b}$ ${\displaystyle C_{n}}$ $${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|L(f)_{k}\|_{B}\leq C_{n}\|f\|_{r+n}}$$ ${\displaystyle f\in F,}$ $${\displaystyle \|M(\{x_{i}\})\|_{n}\leq C_{n}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{(r+n)k}\|x_{k}\|_{B}}$$ ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}\in \Sigma (B).}$

Здесь обозначает векторное пространство экспоненциально убывающих последовательностей , то есть, Трудоемкость определения оправдывается основными примерами ручно градуированных пространств Фреше: ${\displaystyle \Sigma (B)}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle \Sigma (B)={\Big \{}{\text{maps }}x:\mathbb {N} \to B{\text{ s.t. }}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|x_{k}\|_{B}<\infty {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} {\Big \}}.}$$

• Если — компактное гладкое многообразие (с границей или без нее), то — слабо градуированное пространство Фреше, если задана любая из следующих градуированных структур: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$
  • принять за норму ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle f}$
  • принять за норму для фиксированного ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle C^{n,\alpha }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$
  • принять за норму для фиксированного ${\displaystyle \|f\|_{n}}$ ${\displaystyle W^{n,p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
• Если — компактное гладкое многообразие с границей, то пространство гладких функций, все производные которых обращаются в нуль на границе, является слабо градуированным пространством Фреше с любой из вышеперечисленных градуированных структур. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M),}$
• Если — компактное гладкое многообразие, а — гладкое векторное расслоение, то пространство гладких сечений является ручным, с любой из вышеперечисленных градуированных структур. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V\to M}$

Чтобы распознать ручную структуру этих примеров, топологически вкладывается в евклидово пространство, берется за пространство функций на этом евклидовом пространстве, а отображение определяется диадическим ограничением преобразования Фурье. Подробности на страницах 133-140 Hamilton (1982). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L}$

Представленный напрямую, как указано выше, смысл и естественность условия «ручного» довольно неясны. Ситуация проясняется, если пересмотреть основные примеры, приведенные выше, в которых соответствующие «экспоненциально убывающие» последовательности в банаховых пространствах возникают из ограничения преобразования Фурье. Напомним, что гладкость функции на евклидовом пространстве напрямую связана со скоростью убывания ее преобразования Фурье. «Ручность» таким образом рассматривается как условие, которое допускает абстракцию идеи «оператора сглаживания» на функциональном пространстве. Если задано банахово пространство и соответствующее пространство экспоненциально убывающих последовательностей в точном аналоге оператора сглаживания, то можно определить его следующим образом. Пусть — гладкая функция, которая обращается в нуль на , тождественно равна единице на и принимает значения только в интервале Тогда для каждого действительного числа, определяемого как Если принять схематическую идею доказательства, разработанного Нэшем, и, в частности, его использование операторов сглаживания, то условие «ручного» становится довольно разумным. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma (B)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,0),}$ ${\displaystyle (1,\infty ),}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta _{t}:\Sigma (B)\to \Sigma (B)}$ $${\displaystyle \left(\theta _{t}x\right)_{i}=s(t-i)x_{i}.}$$

Гладкие, прирученные карты

Пусть F и G — градуированные пространства Фреше. Пусть U — открытое подмножество F , что означает, что для каждого существуют и такие , что влечет, что также содержится в U. ${\displaystyle f\in U}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|f-f_{1}\|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f_{1}}$

Гладкая карта называется ${\displaystyle P:U\to G}$ручное гладкое отображение , если для всехпроизводныхвыполняется следующее: ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G}$

существуют и такие, которые подразумевают ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n>b}$

$${\displaystyle {\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$$

для всех . ${\displaystyle \left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F}$

Основной пример гласит, что на компактном гладком многообразии нелинейный оператор частного дифференцирования (возможно, между сечениями векторных расслоений над многообразием) является гладким ручным отображением; в этом случае r можно принять равным порядку оператора.

Доказательство теоремы

Пусть S обозначает семейство обратных отображений. Рассмотрим частный случай, когда F и G являются пространствами экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах, то есть F = Σ( B ) и G = Σ( C ). (Несложно увидеть, что этого достаточно для доказательства общего случая.) Для положительного числа c рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в Σ( B ), данное Гамильтоном, которое показывает, что если и достаточно мало в Σ( C ), то решение этого дифференциального уравнения с начальным условием существует как отображение [0,∞) → Σ( B ) , и что f ( t ) сходится при t →∞ к решению ${\displaystyle U\times G\to F.}$ $${\displaystyle f'=cS{\Big (}\theta _{t}(f),\theta _{t}{\big (}g_{\infty }-P(f){\big )}{\Big )}.}$$ ${\displaystyle P(0)=0}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle P(f)=g_{\infty }.}$

Ссылки

• Громов, М.Л. (1972), «Сглаживание и обращение дифференциальных операторов», Матем. сб. , Новая серия, 88 (130): 382–441, MR  0310924
• Громов, Михаил (1986). Частичные дифференциальные отношения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN 3-540-12177-3. МР  0864505.
• Гамильтон, Ричард С. (1982), «Теорема об обратной функции Нэша и Мозера» (PDF-12MB) , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 7 (1): 65–222, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 , MR  0656198
• Хермандер, Ларс (1976), «Граничнные проблемы физической геодезии», Arch. Rational Mech. Anal. , 62 (1): 1–52, doi :10.1007/BF00251855, MR  0602181, S2CID  117923577
  • Хермандер, Л. (1977), «Исправление к: «Граничным задачам физической геодезии»", Arch. Rational Mech. Anal. , 65 (44): 395, doi : 10.1007/BF00250435 , MR  0602188
• Мозер, Юрген (1966a), «Быстро сходящийся итерационный метод и нелинейные уравнения в частных производных. I», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 20 : 265–315, MR  0199523
• Мозер, Юрген (1966b), «Быстро сходящийся итерационный метод и нелинейные уравнения в частных производных. II», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 20 : 499–535, MR  0206461
• Нэш, Джон (1956), «Проблема погружения для римановых многообразий», Annals of Mathematics , 63 (1): 20–63, doi :10.2307/1969989, JSTOR  1969989, MR  0075639.
• Сен-Раймон, Ксавье (1989), «Простая теорема Нэша-Мозера о неявной функции», Enseign. Math. (2) , 35 (3–4): 217–226, MR  1039945
• Шварц, Дж. (1960), «О неявной функциональной теореме Нэша», Comm. Pure Appl. Math. , 13 (3): 509–530, doi :10.1002/cpa.3160130311, MR  0114144
• Сергерарт, Фрэнсис (1972), «Теорема функций, подразумеваемых в определенных пространствах Фреше и других приложениях», Ann. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) , 5 (4): 599–660, doi : 10.24033/asens.1239 , MR  0418140
• Zehnder, E. (1975), «Обобщенные теоремы о неявных функциях с приложениями к некоторым проблемам малых делителей. I», Comm. Pure Appl. Math. , 28 : 91–140, doi :10.1002/cpa.3160280104, MR  0380867
• Zehnder, E. (1976), «Обобщенные теоремы о неявных функциях с приложениями к некоторым проблемам малых делителей. II», Comm. Pure Appl. Math. , 29 (1): 49–111, doi :10.1002/cpa.3160290104, MR  0426055