Обернутое распределение Коши

В теории вероятностей и направленной статистике обернутое распределение Коши — это обернутое распределение вероятностей , которое получается в результате «обертывания» распределения Коши вокруг единичной окружности . Распределение Коши иногда называют распределением Лоренца, а обернутое распределение Коши иногда называют обернутым распределением Лоренца.

Обернутое распределение Коши часто встречается в области спектроскопии, где оно используется для анализа дифракционных картин (например, см. интерферометр Фабри–Перо ).

Описание

Функция плотности вероятности обернутого распределения Коши имеет вид: ^[1]

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi }$

где - масштабный коэффициент, а - пиковое положение "развернутого" распределения. Выражение вышеуказанной pdf через характеристическую функцию распределения Коши дает: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )-|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}$

PDF также может быть выражена через круговую переменную z = e ^iθ и комплексный параметр ζ = e ^{i ( μ + iγ )}

${\displaystyle f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}}$

где, как показано ниже, ζ = ⟨ z ⟩.

В терминах круговой переменной круговые моменты обернутого распределения Коши являются характеристической функцией распределения Коши, вычисленной при целочисленных аргументах: ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.}$

где — некоторый интервал длины . Тогда первый момент — это среднее значение z , также известное как средний результирующий или средний результирующий вектор: ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

Средний угол равен

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

а длина среднего результирующего равна

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

что дает круговую дисперсию 1 − R .

Оценка параметров

Серия из N измерений, взятых из обернутого распределения Коши, может быть использована для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии определяется как ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

и его математическое ожидание будет только в первый момент:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

Другими словами, является несмещенной оценкой первого момента. Если предположить, что положение пика лежит в интервале , то Arg будет (смещенной) оценкой положения пика . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle ({\overline {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Рассматривая как набор векторов в комплексной плоскости, статистика представляет собой длину усредненного вектора: ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

и его ожидаемое значение равно

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

Другими словами, статистика

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

будет несмещенной оценкой и будет (смещенной) оценкой . ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$ ${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$ ${\displaystyle \gamma }$

Энтропия

Информационная энтропия обернутого распределения Коши определяется как: ^[1]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }$

где - любой интервал длины . Логарифм плотности обернутого распределения Коши может быть записан в виде ряда Фурье в : ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle \ln(f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

где

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

что дает:

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

(ср. Градштейн и Рыжик ^[2] 4.224.15) и

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

(ср. Градштейн и Рыжик ^[2] 4.397.6). Характеристическое представление функции для обернутого распределения Коши в левой части интеграла имеет вид:

${\displaystyle f_{WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

где . Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать: ${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

Ряд представляет собой просто разложение Тейлора для логарифма, поэтому энтропию можно записать в замкнутой форме как: ${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

Круговое распределение Коши

Если X распределено по закону Коши с медианой μ и параметром масштаба γ, то комплексная переменная

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

имеет единичный модуль и распределена на единичной окружности с плотностью: ^[3]

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

где

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

и ψ выражает два параметра соответствующего линейного распределения Коши для x как комплексное число :

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

Видно, что круговое распределение Коши имеет ту же функциональную форму, что и обернутое распределение Коши по z и ζ (т.е. f _WC (z,ζ)). Круговое распределение Коши представляет собой перепараметризованное обернутое распределение Коши:

${\displaystyle f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{WC}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

Распределение называется круговым распределением Коши ^{[3] [4]} (также комплексным распределением Коши ^[3] ) с параметрами μ и γ. (См. также параметризацию МакКаллага распределений Коши и ядра Пуассона для связанных понятий.) ${\displaystyle f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )}$

Круговое распределение Коши, выраженное в комплексной форме, имеет конечные моменты всех порядков

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

для целого числа n ≥ 1. При |φ| < 1 преобразование

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

голоморфна на единичном круге, а преобразованная переменная U ( Z , φ) распределена как комплексное распределение Коши с параметром U ( ζ, φ).

Для выборки z ₁ , ..., z _n размера n > 2 уравнение максимального правдоподобия

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

можно решить с помощью простой итерации с фиксированной точкой:

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

начиная с ζ ⁽⁰⁾ = 0. Последовательность значений правдоподобия не убывает, и решение является уникальным для выборок, содержащих не менее трех различных значений. ^[5]

Оценка максимального правдоподобия для медианы ( ) и параметра масштаба ( ) реальной выборки Коши получается путем обратного преобразования: ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

Для n ≤ 4 известны выражения в замкнутой форме для . ^[6] Плотность оценки максимального правдоподобия в точке t в единичном круге обязательно имеет вид: ${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

где

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$.

Формулы для p ₃ и p ₄ доступны. ^[7]

Смотрите также

• Распределение в упакованном виде
• гребень Дирака
• Нормальное распределение в обертке
• Круговое равномерное распределение
• Параметризация МакКаллага распределений Коши

Ссылки

1. Мардия, Кантилал ; Джапп, Питер Э. (1999). Направленная статистика . Уайли. ISBN 978-0-471-95333-3.
2. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич (февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллингер, Дэниел (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). ISBN Academic Press, Inc.  0-12-373637-4. LCCN  2010481177.
3. McCullagh, Peter (июнь 1992 г.). "Условный вывод и модели Коши" (PDF) . Biometrika . 79 (2): 247–259. doi :10.1093/biomet/79.2.247 . Получено 26 января 2016 г. .
4. К. В. Мардиа (1972). Статистика направленных данных . Academic Press .^{[ нужна страница ]}
5. J. Copas (1975). «Об унимодальности функции правдоподобия для распределения Коши». Biometrika . 62 (3): 701–704. doi :10.1093/biomet/62.3.701.
6. Фергюсон, Томас С. (1978). «Оценки максимального правдоподобия параметров распределения Коши для выборок размера 3 и 4». Журнал Американской статистической ассоциации . 73 (361): 211–213. doi :10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR  2286549.
7. P. McCullagh (1996). «Преобразование Мёбиуса и оценка параметров Коши». Annals of Statistics . 24 (2): 786–808. JSTOR  2242674.

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Спрингер . ISBN 978-3-540-43603-4. Получено 31 декабря 2009 г.
• Фишер, Н.И. (1996). Статистический анализ круговых данных. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-56890-6. Получено 2010-02-09 .