Выражение, обозначающее набор множеств в формальной семантике
В формальной семантике обобщенный квантор ( GQ ) — это выражение, обозначающее набор множеств . Это стандартная семантика, приписываемая количественным именным группам . Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает множество множеств, членом которых является каждый мальчик:
![{\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{это мальчик}}\to x\in X)\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Такая обработка кванторов сыграла важную роль в достижении композиционной семантики предложений, содержащих кванторы. [1] [2]
Теория типов
Версия теории типов часто используется для явного определения семантики различных видов выражений. Стандартная конструкция рекурсивно определяет набор типов следующим образом:
- e и t — типы.
- Если a и b относятся к обоим типам, то и
![{\displaystyle \langle a,b\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Ничто не является типом, кроме того, что можно сконструировать на основе строк 1 и 2 выше.
Учитывая это определение, у нас есть простые типы e и t , а также счетное множество сложных типов, некоторые из которых включают:
![{\ displaystyle \ langle e, t \ rangle; \ qquad \ langle t, t \ rangle; \ qquad \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle; \ qquad \ langle e, \ langle e, t \ rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Выражения типа e обозначают элементы вселенной дискурса , набора сущностей, о которых идет речь. Этот набор обычно записывается как . Примеры выражений типа e включают John и he .
![{\displaystyle D_{e}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно представленное в виде набора , где 0 означает «ложь», а 1 — «истина». Примерами выражений, которые иногда называют типа t, являются предложения или предложения .
![{\displaystyle \{0,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Выражения типа обозначают функции от набора сущностей к набору значений истинности. Этот набор функций отображается как . Такие функции являются характеристическими функциями множеств . Они отображают каждую единицу, являющуюся элементом множества, как «истинную», а все остальное — как «ложную». Принято говорить, что они обозначают множества, а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последнее точнее. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных .
![{\displaystyle \langle e,t\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- В общем, выражения сложных типов обозначают функции от набора сущностей типа к множеству сущностей типа , конструкцию мы можем записать следующим образом: .
![{\displaystyle \langle a,b\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle б}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы можем присвоить типы словам в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.
- Тип(мальчик) =
![{\displaystyle \langle e,t\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Тип(спит) =
![{\displaystyle \langle e,t\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Тип(каждый) =
![{\ displaystyle \ langle \ langle e, t \ rangle, \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle \ rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Тип(каждый мальчик) =
![{\displaystyle \langle \langle е, т\rangle, т\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и поэтому мы видим, что обобщенный квантор в нашем примере имеет тип![{\displaystyle \langle \langle е, т\rangle, т\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, каждый обозначает функцию от множества к функции от множества к значению истинности. Другими словами, оно обозначает функцию от множества к множеству множеств. Это та функция, которая для любых двух множеств A,B каждый ( A ) ( B )= 1 тогда и только тогда, когда .![{\displaystyle A\subseteq B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Типизированное лямбда-исчисление
Полезным способом написания сложных функций является лямбда-исчисление . Например, можно записать значение сна в виде следующего лямбда-выражения, которое является функцией от отдельного x до утверждения, что x спит .
![{\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
xфункцию идентичности![{\displaystyle D_{e}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda хх}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-терма, где X,Y — переменные типа :![{\displaystyle \langle e,t\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda X.\lambda YX\subseteq Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если мы сократим значение слов « мальчик и спит» как « Б » и « С » соответственно, мы получим, что предложение «каждый мальчик спит » теперь означает следующее:
![{\displaystyle (\lambda X.\lambda YX\subseteq Y)(B)(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
β-редукции![{\displaystyle (\lambda YB\subseteq Y)(S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B\subseteq S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Выражение каждый является определителем . В сочетании с существительным оно дает обобщенный квантор типа .![{\displaystyle \langle \langle е, т\rangle, т\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Монотонность
Монотонный рост GQ
Обобщенный квантор GQ называется монотонно возрастающим (также называемым влекущим вверх), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:
- если , то GQ( X ) влечет за собой GQ( Y ).
![{\displaystyle X\subseteq Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
GQ каждого мальчика монотонно увеличивается. Например, набор вещей, которые работают быстро, является подмножеством множества вещей, которые работают . Таким образом, первое предложение ниже влечет за собой второе:
- Каждый мальчик бегает быстро.
- Каждый мальчик бежит.
Монотонно уменьшающиеся GQ
GQ называется монотонно убывающим (также называемым нисходящим ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:
- Если , то GQ( Y ) влечет за собой GQ( X ).
![{\displaystyle X\subseteq Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример монотонного уменьшения GQ — no boy . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.
- Ни один мальчик не убегает.
- Ни один мальчик не бегает быстро.
Лямбда-член для определителя № следующий. Он говорит, что два множества имеют пустое пересечение .
![{\displaystyle \lambda X.\lambda YX\cap Y=\emptyset}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
предмет с отрицательной полярностьюлюбой- Хорошо: Ни у одного мальчика нет денег .
- Плохо: *У каждого мальчика есть деньги .
Немонотонные GQ
GQ называется немонотонным, если он не монотонно возрастает и не монотонно убывает. Пример такого GQ — ровно три мальчика . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другое.
- Бежали ровно три студента.
- Ровно трое студентов быстро побежали.
Первое предложение не влечет за собой второе. Тот факт, что число бегущих студентов равно трем, не означает, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому число бегущих студентов может быть меньше трех. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Предложение , что ровно три ученика бежали быстро, может быть истинным, даже если число учеников, которые просто бежали (т. е. не так быстро), больше 3.
Лямбда-терм для (комплексного) определителя ровно три следующий. Он говорит, что мощность пересечения двух множеств равна 3.
![{\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Консервативность
Определитель D называется консервативным, если имеет место следующая эквивалентность:
![{\ displaystyle D (A) (B) \ leftrightarrow D (A) (A \ cap B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Каждый мальчик спит.
- Каждый мальчик – мальчик, который спит.
Было высказано предположение, что все определители в каждом естественном языке являются консервативными. [2] Выражение только не является консервативным. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле не принято анализировать только как определяющий фактор . Скорее, оно обычно рассматривается как наречие, чувствительное к фокусу .
- Спят только мальчики.
- Только мальчики — мальчики, которые спят.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Монтегю, Ричард (1974). «Правильное обращение с количественной оценкой на английском языке». В Куласе, Дж.; Фетцер, Дж. Х.; Рэнкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. Том. 2. Спрингер, Дордрехт. стр. 141–162. дои : 10.1007/978-94-009-2727-8_7. ISBN 978-94-010-7726-2.
- ^ аб Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык». Языкознание и философия . 4 (2): 159–219. дои : 10.1007/BF00350139.
дальнейшее чтение
- Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Кванторы в языке и логике . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0.
- Антонио Бадиа (2009). Кванторы в действии: обобщенная квантификация в запросах, логических и естественных языках . Спрингер. ISBN 978-0-387-09563-9.
- Вонгиэль М (2021). Субатомное количественное определение (pdf) . Берлин: Language Science Press. дои : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.
Внешние ссылки