Обратный Дразин

В математике обратная матрица Дрейзина , названная в честь Майкла П. Дрейзина , является разновидностью обобщенной обратной матрицы .

Пусть A — квадратная матрица. Индекс A — это наименьшее неотрицательное целое число k , такое что rank ( A ^{k +1} ) = rank ( A ^k ). Обратная матрица Дрейзина для A — это единственная матрица A ^D , которая удовлетворяет условию

${\displaystyle A^{k+1}A^{\text{D}}=A^{k},\quad A^{\text{D}}AA^{\text{D}}=A^{\text{D}},\quad AA^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.}$

Это не обобщенная обратная функция в классическом смысле, поскольку в общем случае. ${\displaystyle AA^{\text{D}}A\neq A}$

• Если A обратим с обратным , то . ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\text{D}}=A^{-1}}$
• Если A — блочно-диагональная матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}}$

где обратима с обратной и является нильпотентной матрицей , тогда ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle A^{D}={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• Обращение Дразина инвариантно относительно сопряжения. Если — обратное Дразина для , то — обратное Дразина для . ${\displaystyle A^{\text{D}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PA^{\text{D}}P^{-1}}$ ${\displaystyle PAP^{-1}}$
• Обратная матрица Дразина для матрицы индекса 0 или 1 называется групповой обратной матрицей или {1,2,5}-обратной матрицей и обозначается A ^# . Групповая обратная матрица может быть определена, эквивалентно, свойствами AA ^# A = A , A ^# AA ^# = A ^# и AA ^# = A ^# A .
• Проекционная матрица P , определяемая как матрица такая, что P ² = P , имеет индекс 1 (или 0) и имеет обратную матрицу Дразина P ^D = P .
• Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига ), то ${\displaystyle A^{\text{D}}=0.}$

Последовательность гипер-мощности:

${\displaystyle A_{i+1}:=A_{i}+A_{i}\left(I-AA_{i}\right);}$для конвергенции обратите внимание, что ${\displaystyle A_{i+j}=A_{i}\sum _{k=0}^{2^{j}-1}\left(I-AA_{i}\right)^{k}.}$

Для или любого регулярного с выбранным таким образом, что последовательность стремится к своему обратному по Дрейзину, ${\displaystyle A_{0}:=\alpha A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}A=AA_{0}}$ ${\displaystyle \left\|A_{0}-A_{0}AA_{0}\right\|<\left\|A_{0}\right\|}$

${\displaystyle A_{i}\rightarrow A^{\text{D}}.}$

Дразин инверсирует в категориях

Изучение обратных матриц Дрейзина с помощью методов теории категорий и понятие обратной матрицы Дрейзина для морфизма категории были недавно начаты Кокеттом, Пако Лемэем и Шринивасаном. Это понятие является обобщением линейной алгебраической, поскольку существует соответствующим образом определенная категория, имеющая матрицы морфизмов с комплексными элементами; обратная матрица Дрейзина для матрицы M эквивалентна обратной матрице Дрейзина для соответствующего морфизма в . ${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$ ${\displaystyle M:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$

Жорданова нормальная форма и разложение Жордана-Шевалле

Поскольку определение обратного блока Дрейзина инвариантно относительно сопряжения матриц, запись , где J находится в жордановой нормальной форме, подразумевает, что . Тогда обратный блок Дрейзина — это операция, которая отображает обратимые жордановы блоки в их обратные, а нильпотентные жордановы блоки в ноль. ${\displaystyle A=PJP^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\text{D}}=PJ^{\text{D}}P^{-1}}$

В более общем случае мы можем определить обратный элемент Дрейзина над любым совершенным полем , используя разложение Жордана-Шевалле , где является полупростым и нильпотентным, и оба оператора коммутируют. Два члена могут быть блочно диагонализированы с блоками, соответствующими ядру и коядру . Обратный элемент Дрейзина в том же базисе затем определяется как нуль на ядре , и равный обратному элементу на коядре . ${\displaystyle A=A_{s}+A_{n}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{s}}$

Смотрите также

• Ограниченная обобщенная обратная матрица
• Обратный элемент
• Обратное уравнение Мура-Пенроуза
• Нормальная форма Жордана
• Обобщенный собственный вектор

Ссылки

• Дразин, МП (1958). «Псевдообратные в ассоциативных кольцах и полугруппах». The American Mathematical Monthly . 65 (7): 506–514. doi :10.2307/2308576. JSTOR  2308576.
• Чжэн, Бин; Бапат, РБ (2004). «Обобщенное обратное уравнение A(2)T,S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления . 155 (2): 407. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
• Кокетт, Робин; Пако Леме, Жан-Симон; Шринивасан, Прия Варшини (2024). «Инверсии Дразина в категориях». arXiv : 2402.18226 [math.CT].

Внешние ссылки

• Обратный Дразин на Planet Math
• Групповая обратная на Planet Math