В математике регулярная карта — это симметричная мозаика замкнутой поверхности . Точнее, регулярное отображение — это разложение двумерного многообразия (такого как сфера , тор или вещественная проективная плоскость ) на топологические диски, такое, что каждый флаг (тройка инцидентных вершин, ребер и граней) может быть преобразован в любой другой флаг в силу симметрии разложения. Регулярные карты в некотором смысле являются топологическими обобщениями Платоновых тел . Теория отображений и их классификация связана с теорией римановых поверхностей , гиперболической геометрией и теорией Галуа . Регулярные карты классифицируются в зависимости от: рода и ориентируемости опорной поверхности, основного графа или группы автоморфизмов .
Регулярные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, теоретико-групповым и теоретико-графовым.
Топологически карта представляет собой 2-клеточное разложение компактного связного 2-многообразия. [1]
Род g карты М определяется соотношением Эйлера , которое равно: если отображение ориентируемо, и если отображение неориентируемо. Важнейшим фактом является то, что для каждого ориентируемого рода, кроме тора, существует конечное (ненулевое) число регулярных отображений.
С теоретико-групповой точки зрения представление перестановок регулярного отображения M представляет собой транзитивную группу перестановок C на множестве флагов , порожденную тремя свободными инволюциями с неподвижной точкой r 0 , r 1 , r 2, удовлетворяющими (r 0 r 2 ) 2 = I. В этом определении грани — это орбиты F = < r0 , r1 >, ребра — это орбиты E = < r0 , r2 > , а вершины — орбиты V = < r1 , r2 > . >. Более абстрактно, группа автоморфизмов любого регулярного отображения — это невырожденный гомоморфный образ группы <2,m,n> -треугольников .
С точки зрения теории графов, карта представляет собой кубический граф с ребрами, окрашенными в синий, желтый и красный цвета, такой, что: связен, каждая вершина инцидентна одному ребру каждого цвета, а циклы ребер, не окрашенных в желтый цвет, имеют длину 4. Обратите внимание, что это граф флагов или графически-кодированная карта (GEM) карты, определенная в наборе вершин флагов и не являющаяся скелетом G = (V,E) карты. В целом, | | = 4|Е|.
Отображение M является регулярным, если Aut(M) регулярно действует на флагах. Aut( M ) регулярного отображения транзитивна на вершинах, ребрах и гранях M . Отображение M называется рефлексивным тогда и только тогда, когда Aut( M ) регулярно и содержит автоморфизм , который фиксирует как вершину v , так и грань f , но меняет порядок ребер на обратный. Отображение, регулярное, но не рефлексивное, называется киральным .
Ниже приводится полный список регулярных отображений на поверхностях положительной эйлеровой характеристики χ: сфера и проективная плоскость. [2]
На изображениях ниже показаны три из 20 правильных карт тройного тора , помеченные их типами Шлефли.
Регулярные карты существуют в виде тороэдральных многогранников как конечные части евклидовых мозаик, обернутых на поверхность дуоцилиндра как плоский тор . Они помечены {4,4} b , c для тех, которые относятся к квадратной мозаике , {4,4}. [4] {3,6} b , c относятся к треугольной мозаике , {3,6}, а {6,3} b , c относятся к шестиугольной мозаике , {6,3}. b и c — целые числа . [5] Есть 2 особых случая ( b ,0) и ( b , b ) с отражательной симметрией, тогда как общие случаи существуют в киральных парах ( b , c ) и ( c , b ).
Регулярные отображения вида {4,4} m ,0 можно представить как конечный правильный косой многогранник {4,4 | m }, рассматриваемые как квадратные грани дуопризмы размером m × m в 4-х измерениях.
Вот пример {4,4} 8,0 , преобразованный из плоскости в виде шахматной доски в сечение цилиндра и в тор. Проекция цилиндра на тор искажает геометрию в трех измерениях, но может быть выполнена без искажений в четырех измерениях.
В целом правильные тороидальные многогранники { p , q } b , c могут быть определены, если либо p , либо q четны, хотя только евклидовы вышеперечисленные многогранники могут существовать как тороидальные многогранники в 4-х измерениях. В {2 p , q } пути ( b , c ) могут быть определены как ступенчатые грань-ребро-грань по прямым линиям, в то время как двойственные формы { p ,2 q } будут рассматривать пути ( b , c ) как ступенчатые. вершина-ребро-вершина по прямым линиям.
