Котангенс пучок

В алгебраической геометрии, если задан морфизм схем f : X → S, кокасательный пучок на X — это пучок -модулей , который представляет ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ( или классифицирует) S -выводы ^[1] в том смысле, что для любых -модулей F существует изоморфизм ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

который естественным образом зависит от F. Другими словами, кокасательный пучок характеризуется универсальным свойством: существует дифференциал такой, что любой фактор вывода S как с некоторым . ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$ ${\displaystyle D=\alpha \circ d}$ ${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

В случае, если X и S являются аффинными схемами, приведенное выше определение означает, что есть модуль кэлеровых дифференциалов . Стандартный способ построения кокасательного пучка (например, Hartshorne, Ch II. § 8) — через диагональный морфизм (который сводится к склеиванию модулей кэлеровых дифференциалов на аффинных картах для получения глобально определенного кокасательного пучка). Двойственный модуль кокасательного пучка на схеме X называется касательным пучком на X и иногда обозначается как . ^[2] ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \Theta _{X}}$

Существуют две важные точные последовательности:

1. Если S → T — морфизм схем, то

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Если Z — замкнутая подсхема X с пучком идеалов I , то

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

Кокасательный пучок тесно связан с гладкостью многообразия или схемы. Например, алгебраическое многообразие является гладким размерности n тогда и только тогда, когда Ω _X является локально свободным пучком ранга n . ^[5]

Построение через диагональный морфизм

Пусть будет морфизмом схем, как во введении, и Δ: X → X × _S X — диагональным морфизмом. Тогда образ Δ локально замкнут ; т. е. замкнут в некотором открытом подмножестве W множества X × _S X (образ замкнут тогда и только тогда, когда f является разделяемым ). Пусть I — идеальный пучок Δ( X ) в W . Тогда можно положить: ${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

и проверяет, что этот пучок модулей удовлетворяет требуемому универсальному свойству кокасательного пучка (Hartshorne, Ch II. Remark 8.9.2). Конструкция показывает, в частности, что кокасательный пучок является квазикогерентным . Он когерентен, если S является нётеровым , а f имеет конечный тип.

Приведенное выше определение означает , что кокасательный пучок на X является ограничением на X конормального пучка диагонального вложения X над S.

Отношение к тавтологическому линейному расслоению

Кокасательный пучок на проективном пространстве связан с тавтологическим линейным расслоением O (-1) следующей точной последовательностью: записывая для проективного пространства над кольцом R , ${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(См. также класс Черна#Комплексное проективное пространство .)

Котангенс стек

Для этого понятия см. § 1

А. Бейлинсон и В. Дринфельд, Квантование интегрируемой системы Хитчина и собственные пучки Гекке [1] Архивировано 05.01.2015 на Wayback Machine ^[6]

Там котангенс-стек на алгебраическом стеке X определяется как относительная спецификация симметрической алгебры касательного пучка на X. (Примечание: в общем случае, если E — локально свободный пучок конечного ранга, — это алгебраическое векторное расслоение, соответствующее E. [ ^{требуется ссылка ]} ) ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

См. также: Расслоение Хитчина (котангенс-стек — это полное пространство расслоения Хитчина.) ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Примечания

1. «Раздел 17.27 (08RL): Модули дифференциалов — проект Stacks».
2. Вкратце это означает:

   ${\displaystyle \Theta _{X}{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X},{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {D}}er({\mathcal {O}}_{X}).}$

3. Хартсхорн 1977, Гл. II, Предложение 8.12.
4. https://mathoverflow.net/q/79956 а также (Hartshorne 1977, Ch. II, Theorem 8.17.)
5. Хартсхорн 1977, Гл. II, Теорема 8.15.
6. см. также: § 3 из http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Sept22(Dmodstack1).pdf

Смотрите также

• комплекс котангенса

Ссылки

• «Пучок дифференциалов морфизма».
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

Внешние ссылки

• "Вопросы о касательном и кокасательном расслоении на схемах". Stack Exchange . 2 ноября 2014 г.