Одностороннее волновое уравнение

Differential equation important in physics

Одностороннее волновое уравнение — это частное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее одну волну, распространяющуюся в направлении, определяемом векторной скоростью волны. Оно контрастирует с двусторонним волновым уравнением второго порядка, описывающим стоячее волновое поле , возникающее в результате суперпозиции двух волн в противоположных направлениях (используя квадрат скалярной скорости волны). ^{[1] [2] [3]} В одномерном случае оно также известно как транспортное уравнение , ^[4] и позволяет рассчитывать распространение волн без математического усложнения решения дифференциального уравнения второго порядка. В связи с тем, что в последние десятилетия не удалось найти общего решения трехмерного одностороннего волнового уравнения, для трехмерных сейсмических и других геофизических расчетов используются многочисленные методы аппроксимации, основанные на одностороннем волновом уравнении 1D, см. также раздел § Трехмерный случай. ^{[5] [6] [1] [7]}

Одномерный случай

Скалярное волновое уравнение второго порядка (двустороннее), описывающее стоячее волновое поле, можно записать в виде: где — координата, — время, — смещение, — скорость волны. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s=s(x,t)}$ ${\displaystyle c}$

Из-за неоднозначности направления скорости волны, уравнение не содержит информации о направлении волны и поэтому имеет решения, распространяющиеся как в прямом ( ), так и в обратном ( ) направлениях. Общее решение уравнения представляет собой сумму решений в этих двух направлениях: ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$ ${\displaystyle +x}$ ${\displaystyle -x}$ $${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)}$$

где и — амплитуды смещения волн, бегущих в направлении и . ${\displaystyle s_{+}}$ ${\displaystyle s_{-}}$ ${\displaystyle +c}$ ${\displaystyle -c}$

При формулировке задачи односторонней волны направление распространения волны необходимо выбрать (вручную), сохранив один из двух членов в общем решении.

Факторизация оператора в левой части уравнения дает пару уравнений односторонних волн, одно с решениями, которые распространяются вперед, а другое с решениями, которые распространяются назад. ^{[8] [9] [10]}

$${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

Волны, бегущие назад и вперед, описываются соответственно (для ), ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$$

Уравнения односторонней волны также можно физически вывести непосредственно из удельного акустического импеданса.

В продольной плоской волне удельное сопротивление определяет локальную пропорциональность давления и скорости частицы : ^[11] ${\displaystyle p=p(x,t)}$ ${\displaystyle v=v(x,t)}$

$${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$$с = плотностью. ${\displaystyle \rho }$

Преобразование уравнения импеданса приводит к: ^[3]

Продольная плоская волна угловой частоты имеет смещение . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle s=s(x,t)}$

Давление и скорость частицы можно выразить через смещение ( модуль упругости ) [ ^{12] [ необходим лучший источник ]} : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$$для одномерного случая это полностью аналогично напряжению в механике : , при этом деформация определяется как ^[13] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$ $${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$$

Эти соотношения, вставленные в уравнение выше ( ⁎ ), дают:

$${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$$

С определением локальной скорости волны ( скорости звука ):

$${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$$

непосредственно(!) следует из уравнения в частных производных 1-го порядка уравнения односторонней волны:

$${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$$

Скорость волны может быть задана в этом волновом уравнении как или в соответствии с направлением распространения волны. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +c}$ ${\displaystyle -c}$

Для распространения волны в направлении единственное решение есть ${\displaystyle +c}$

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$$

а для распространения волны в направлении соответствующее решение равно ^[14] ${\displaystyle -c}$ $${\displaystyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$$

Существует также сферическое одностороннее волновое уравнение, описывающее распространение волн монопольного источника звука в сферических координатах, т. е. в радиальном направлении. С помощью модификации радиального оператора набла решается несоответствие между сферической дивергенцией и операторами Лапласа, и полученное решение не показывает функции Бесселя (в отличие от известного решения обычного двухстороннего подхода). ^[7]

Трехмерный корпус

Одностороннее уравнение и решение в трехмерном случае предполагались аналогичными, как и для одномерного случая, путем математического разложения (факторизации) дифференциального уравнения 2-го порядка. ^[15] Фактически, трехмерное одностороннее волновое уравнение может быть выведено из первых принципов: а) вывод из теоремы импеданса ^[3] и б) вывод из тензорного импульсного потока равновесия в точке поля. ^[7] Также возможно вывести векторный двухсторонний волновой оператор из синтеза двух односторонних волновых операторов (используя комбинированную полевую переменную). Этот подход показывает, что двухстороннее волновое уравнение или двухсторонний волновой оператор могут быть использованы для определенного условия ∇ c = 0 , т. е. для однородной и анизотропной среды, тогда как одностороннее волновое уравнение или односторонний волновой оператор также справедливы в неоднородных средах. ^[16]

Неоднородные среды

Для неоднородных сред с зависящими от местоположения модулем упругости , плотностью и скоростью волны аналитическое решение уравнения односторонней волны может быть получено путем введения новой полевой переменной. ^[10] ${\displaystyle E(x)}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle c(x)}$

Дальнейшие механические и электромагнитные волны

Метод факторизации уравнений в частных производных может быть также перенесен на другие волновые уравнения 2-го или 4-го порядка, например, поперечные и струнные, уравнения Моенса/Кортевега, изгиба и электромагнитные волновые уравнения и электромагнитные волны. ^[10]

Смотрите также

• Волновое уравнение  – Дифференциальное уравнение, важное в физике
• Стоячая волна  – волна, которая остается в постоянном положении.
• Уравнение непрерывности  – Уравнение, описывающее перенос некоторого количества.

Ссылки

1. Angus, DA (2014-03-01). "Уравнение односторонней волны: инструмент полной формы волны для моделирования явлений объемной сейсмической волны" (PDF) . Surveys in Geophysics . 35 (2): 359–393. Bibcode :2014SGeo...35..359A. doi :10.1007/s10712-013-9250-2. ISSN  1573-0956. S2CID  121469325.
2. Трефетен, Л. Н. "19. Уравнения односторонних волн" (PDF) .
3. Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (март 2020 г.). «Уравнение односторонней волны, полученное из теоремы импеданса». Акустика . 2 (1): 164–170. doi : 10.3390/acoustics2010012 .
4. Олвер, Питер. Введение в уравнения с частными производными . Springer. С. 19–29. ISBN 978-3-319-02098-3.
5. Qiqiang, Yang (2012-01-01). "Прямое моделирование уравнения односторонней акустической волны методом Хартли". Procedia Environmental Sciences . Международная конференция по экологической науке и инжинирингу 2011 г. 12 : 1116–1121. doi : 10.1016/j.proenv.2012.01.396 . ISSN  1878-0296.
6. Чжан, Юй; Чжан, Гуаньцюань; Блейштейн, Норман (сентябрь 2003 г.). «Миграция волнового уравнения истинной амплитуды, возникающая из волновых уравнений истинной амплитуды с одним направлением». Обратные задачи . 19 (5): 1113–1138. Bibcode :2003InvPr..19.1113Z. doi :10.1088/0266-5611/19/5/307. ISSN  0266-5611. S2CID  250860035.
7. Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (март 2021 г.). «Уравнение сферической односторонней волны». Акустика . 3 (2): 309–315. doi : 10.3390/acoustics3020021 .
8. Байсал, Эдип; Кослофф, Дэн Д.; Шервуд, Дж. В. Ч. (февраль 1984 г.), «Уравнение двусторонних неотражающих волн», Geophysics , т. 49, № 2, стр. 132–141, Bibcode : 1984Geop...49..132B, doi : 10.1190/1.1441644, ISSN  0016-8033
9. Ангус, ДА (2013-08-17), "Уравнение односторонней волны: инструмент полной формы волны для моделирования явлений объемной сейсмической волны" (PDF) , Surveys in Geophysics , т. 35, № 2, стр. 359–393, Bibcode : 2014SGeo...35..359A, doi : 10.1007/s10712-013-9250-2, ISSN  0169-3298, S2CID  121469325
10. Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (декабрь 2021 г.). «Факторизованные уравнения односторонних волн». Акустика . 3 (4): 717–722. doi : 10.3390/acoustics3040045 .
11. "Звук - Сопротивление". Encyclopedia Britannica . Получено 20.05.2021 .
12. "модуль упругости". Encyclopedia Britannica . Получено 2021-12-15 .
13. "Модуль Юнга | Описание, пример и факты". Encyclopedia Britannica . Получено 20.05.2021 .
14. «Волновое уравнение — одномерное».
15. Математика уравнений в частных производных и волновое уравнение https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf
16. Райда, Ханс-Иоахим (март 2022 г.). «Оператор односторонней волны». Акустика . 4 (4): 885–893. doi : 10.3390/acoustics4040053 .