Одночлен

Многочлен с одним членом

В математике одночлен — это, грубо говоря, многочлен , который имеет только один член . Можно встретить два определения одночлена:

1. Моном, также называемый произведением степени , является произведением степеней переменных с неотрицательными целыми показателями степени или, другими словами, произведением переменных, возможно, с повторениями. Например, является мономом. Константа является мономом, будучи равной пустому произведению и для любой переменной . Если рассматривается только одна переменная , это означает, что моном является либо степенью , с положительным целым числом. Если рассматривается несколько переменных, скажем, то каждой можно задать показатель степени, так что любой моном имеет вид с неотрицательными целыми числами (принимая во внимание, что любой показатель степени делает соответствующий множитель равным ). ${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
2. Одночлен — это одночлен в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом одночлена. Одночлен в первом смысле — это частный случай одночлена во втором смысле, где коэффициент равен . Например, в этой интерпретации и являются одночленами (во втором примере переменными являются , а коэффициент — комплексное число ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -7x^{5}}$ ${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$ ${\displaystyle x,y,z,}$

В контексте многочленов Лорана и рядов Лорана показатели степени одночлена могут быть отрицательными, а в контексте рядов Пюизе показатели степени могут быть рациональными числами .

Поскольку слово «моном», как и слово «полином», произошло от позднелатинского слова «binomium» (двучлен), то путем изменения префикса «би-» (два на латыни) моном теоретически должен называться «мономом». «Моном» — синкопа по гаплологии от «моном». ^[1]

Сравнение двух определений

В любом из определений множество одночленов представляет собой подмножество всех многочленов, замкнутое относительно умножения.

Оба использования этого понятия можно найти, и во многих случаях различие просто игнорируется, см., например, примеры для первого ^[2] и второго ^[3] значений. В неформальных обсуждениях различие редко бывает важным, и тенденция направлена ​​на более широкое второе значение. Однако при изучении структуры многочленов часто определенно требуется понятие с первым значением. Это имеет место, например, при рассмотрении мономиального базиса полиномиального кольца или мономиального упорядочения этого базиса. Аргументом в пользу первого значения также является то, что не существует очевидного другого понятия для обозначения этих значений (термин степенное произведение используется, в частности, когда моном используется с первым значением, но он также не делает отсутствие констант очевидным), в то время как понятие термина многочлена однозначно совпадает со вторым значением монома.

В оставшейся части статьи предполагается первое значение слова «одночлен».

Мономиальный базис

Самый очевидный факт о мономах (первое значение) заключается в том, что любой многочлен является их линейной комбинацией , поэтому они образуют базис векторного пространства всех многочленов, называемый базисом мономов — факт, который постоянно неявно используется в математике.

Число

Число мономов степени от переменных — это число мультикомбинаций элементов, выбранных среди переменных (переменная может быть выбрана более одного раза, но порядок не имеет значения), которое задается коэффициентом мультимножества . Это выражение также может быть задано в виде биномиального коэффициента , как полиномиальное выражение в , или с использованием возрастающей факториальной степени : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Последние формы особенно полезны, когда фиксируется число переменных и степень меняется. Из этих выражений видно, что при фиксированном n число мономов степени d является полиномиальным выражением степени со старшим коэффициентом . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$

Например, число одночленов от трех переменных ( ) степени d равно ; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ... треугольных чисел . ${\displaystyle n=3}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$

Ряд Гильберта — это компактный способ выражения числа одночленов заданной степени: число одночленов степени от переменных равно коэффициенту степени формального разложения в степенной ряд ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

Число одночленов степени не выше d от n переменных равно . Это следует из взаимно однозначного соответствия между одночленами степени по переменным и одночленами степени не выше по переменным, которое заключается в замене на 1 дополнительной переменной. ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Многоиндексная нотация

Многоиндексная нотация часто полезна для компактной нотации, особенно когда есть более двух или трех переменных. Если используемые переменные образуют индексированное семейство, например, можно задать ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

и

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

Тогда одночлен

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

можно компактно записать как

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

При такой записи произведение двух одночленов выражается просто с помощью сложения векторов экспонент:

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

Степень

Степень монома определяется как сумма всех показателей степеней переменных, включая неявные показатели 1 для переменных, которые появляются без показателя; например, в примере предыдущего раздела степень равна . Степень равна 1+1+2=4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0. ${\displaystyle a+b+c}$ ${\displaystyle xyz^{2}}$

Степень монома иногда называют порядком, в основном в контексте рядов. Также ее называют полной степенью, когда ее нужно отличить от степени по одной из переменных.

Степень монома является фундаментальной для теории одномерных и многомерных полиномов. Явно она используется для определения степени полинома и понятия однородного полинома , а также для градуированных мономиальных упорядочений, используемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера . Неявно она используется при группировке членов ряда Тейлора по нескольким переменным .

Геометрия

В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениями для некоторого набора α, обладают особыми свойствами однородности. Это можно выразить на языке алгебраических групп , в терминах существования группового действия алгебраического тора (эквивалентно мультипликативной группы диагональных матриц ). Эта область изучается под названием вложений торов . ${\displaystyle x^{\alpha }=0}$

Смотрите также

• Мономиальное представление
• Мономиальная матрица
• Однородный многочлен
• Однородная функция
• Многолинейная форма
• Логарифмический график
• Закон силы
• Разреженный многочлен

Ссылки

1. Американский словарь английского языка «Наследие» , 1969.
2. Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Донал О'Ши (1998). Использование алгебраической геометрии. Springer Verlag. С. 1. ISBN 0-387-98487-9.
3. "Мономиал", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]