Математическая функция
Омега-функция Райта вдоль части действительной оси В математике омега- функция Райта или функция Райта , [примечание 1] обозначаемая ω , определяется через функцию Ламберта W следующим образом:
ω ( з ) = Вт ⌈ я м ( з ) − π 2 π ⌉ ( е з ) . {\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{ г}).}
Использует Одним из основных применений этой функции является разрешение уравнения z = ln( z ), поскольку единственное решение дается выражением z = e −ω( π i ) .
y = ω( z ) является единственным решением, когда для x ≤ −1, уравнения y + ln( y ) = z . За исключением этих двух значений, омега-функция Райта непрерывна , даже аналитична . з ≠ х ± я π {\ displaystyle z \ neq x \ pm я \ pi}
Характеристики Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению . Вт к ( з ) = ω ( вн ( з ) + 2 π я к ) {\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}
Он также удовлетворяет дифференциальному уравнению
г ω г з = ω 1 + ω {\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}} = {\frac {\omega }{1+\omega }}} где ω является аналитической (как можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение ), и, как следствие, ее интеграл можно выразить как: вн ( ω ) + ω = з {\displaystyle \ln(\omega)+\omega =z}
∫ ω н г з = { ω н + 1 − 1 н + 1 + ω н н если н ≠ − 1 , вн ( ω ) − 1 ω если н = − 1. {\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}} Его ряд Тейлора вокруг точки принимает вид: а = ω а + вн ( ω а ) {\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}
ω ( з ) = ∑ н = 0 + ∞ д н ( ω а ) ( 1 + ω а ) 2 н − 1 ( з − а ) н н ! {\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}} где
д н ( ж ) = ∑ к = 0 н − 1 ⟨ ⟨ н + 1 к ⟩ ⟩ ( − 1 ) к ж к + 1 {\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}} в котором
⟨ ⟨ н к ⟩ ⟩ {\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }} — число Эйлера второго порядка .
Ценности ω ( 0 ) = Вт 0 ( 1 ) ≈ 0,56714 ω ( 1 ) = 1 ω ( − 1 ± я π ) = − 1 ω ( − 1 3 + вн ( 1 3 ) + я π ) = − 1 3 ω ( − 1 3 + вн ( 1 3 ) − я π ) = Вт − 1 ( − 1 3 е − 1 3 ) ≈ − 2.237147028 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}
Участки Графики омега-функции Райта на комплексной плоскости z = Re( ω ( x + i y ))
z = Im( ω ( x + i y ))
ω ( х + i y )
Примечания
Ссылки «О функции ω Райта», Роберт Корлесс и Дэвид Джеффри 
