Определение орбиты

Диаграмма, показывающая, как обрабатывались данные определения орбиты во время миссии НАСА 1962 года. (Только исторический интерес.)

Определение орбиты — это оценка орбит таких объектов, как луны, планеты и космические корабли. Одним из основных приложений является возможность отслеживать недавно наблюдаемые астероиды и проверять, что они не были обнаружены ранее. Основные методы были открыты в 17 веке и постоянно совершенствовались.

Наблюдения — это необработанные данные, вводимые в алгоритмы определения орбиты. Наблюдения, выполняемые наземным наблюдателем, обычно состоят из значений азимута , высоты , дальности и/или скорости дальности с метками времени. Используются телескопы или радиолокационная аппаратура, поскольку наблюдения невооруженным глазом недостаточны для точного определения орбиты. При большем количестве или более качественных наблюдениях точность процесса определения орбиты также повышается, и в результате возникает меньше « ложных тревог ».

После определения орбит можно использовать математические методы распространения для прогнозирования будущих положений орбитальных объектов. С течением времени фактическая траектория вращающегося объекта имеет тенденцию отклоняться от прогнозируемой траектории (особенно если объект подвержен трудно прогнозируемым возмущениям , таким как атмосферное сопротивление ), и определение новой орбиты с использованием новых наблюдений служит для повторного определения траектории орбитального объекта. -калибровать знания об орбите.

Спутниковое слежение — еще одно важное приложение. Для США и стран-партнеров, насколько позволяют оптические и радиолокационные ресурсы, Объединенный центр космических операций собирает данные наблюдений за всеми объектами на околоземной орбите. Наблюдения используются в расчетах определения новой орбиты, которые поддерживают общую точность спутникового каталога . В расчетах предотвращения столкновений эти данные могут использоваться для расчета вероятности того, что один орбитальный объект столкнется с другим. Оператор спутника может принять решение о корректировке орбиты, если риск столкновения на нынешней орбите неприемлем. (Невозможно скорректировать орбиту для событий с очень низкой вероятностью; вскоре будет израсходовано топливо, которое спутник несет для поддержания орбитальной станции .) Другие страны, включая Россию и Китай , имеют аналогичные средства слежения.

История

Определение орбит имеет долгую историю, начавшуюся с доисторического открытия планет и последующих попыток предсказать их движение. Иоганн Кеплер использовал тщательные наблюдения Тихо Браге за Марсом , чтобы вывести эллиптическую форму его орбиты и его ориентацию в пространстве, выведя при этом свои три закона движения планет .

Математические методы определения орбиты возникли с публикацией в 1687 году первого издания « Начал » Ньютона , в котором был дан метод определения орбиты тела, следующего по параболической траектории, по трем наблюдениям. ^[1] Это использовалось Эдмундом Галлеем для установления орбит различных комет , в том числе и той, которая носит его имя. Метод последовательного приближения Ньютона был формализован в аналитический метод Эйлером в 1744 году, чьи работы, в свою очередь, были обобщены на эллиптические и гиперболические орбиты Ламбертом в 1761–1777 годах.

Еще одной вехой в определении орбиты стала помощь Карла Фридриха Гаусса в «восстановлении» карликовой планеты Церера в 1801 году. Метод Гаусса позволил использовать всего три наблюдения (в виде небесных координат ), чтобы найти шесть орбитальных элементов , которые полностью описывают орбита. Теория определения орбиты впоследствии была развита до такой степени, что сегодня она применяется в GPS-приемниках , а также для отслеживания и каталогизации вновь наблюдаемых малых планет .

Данные наблюдений

Для определения неизвестной орбиты тела необходимы некоторые наблюдения за его движением во времени. В ранней современной астрономии единственными доступными данными наблюдений небесных объектов были прямое восхождение и склонение , полученные путем наблюдения за телом, когда оно двигалось по своей дуге наблюдения , относительно неподвижных звезд , с помощью оптического телескопа . Это соответствует знанию относительного направления объекта в пространстве, измеренного от наблюдателя, но без знания расстояния до объекта, т. е. результирующее измерение содержит только информацию о направлении, например, единичный вектор .

С помощью радара измерения относительного расстояния (по времени радиолокационного эха) и измерения относительной скорости (путем измерения эффекта Доплера радиолокационного эха) возможны с использованием радиотелескопов . Однако мощность возвращаемого сигнала от радара быстро уменьшается, поскольку обратна четвертой степени дальности до объекта. Обычно это ограничивает радиолокационные наблюдения объектами, относительно близкими к Земле, такими как искусственные спутники и околоземные объекты . Большие апертуры позволяют отслеживать транспондеры на межпланетных космических кораблях по всей Солнечной системе, а также проводить радиолокационную астрономию естественных тел.

Различные космические агентства и коммерческие поставщики используют сети слежения для обеспечения таких наблюдений. Частичный список см. в разделе « Категория: Сеть дальнего космоса» . Также регулярно осуществляется космическое слежение за спутниками. См. Список радиотелескопов # Космического базирования и космической сети .

Методы

При определении орбиты необходимо учитывать, что на видимое небесное движение тела влияет собственное движение наблюдателя. Например, наблюдатель на Земле, отслеживающий астероид, должен учитывать движение Земли вокруг Солнца , вращение Земли, а также местную широту и долготу наблюдателя, поскольку они влияют на видимое положение тела.

Ключевое наблюдение заключается в том, что (в близком приближении) все объекты движутся по орбитам, имеющим конические сечения , с притягивающим телом (таким как Солнце или Земля) в главном фокусе , и что орбита лежит в фиксированной плоскости. Все векторы , проведенные от притягивающего тела к телу в разные моменты времени, будут лежать в плоскости орбиты .

Если известны положение и скорость относительно наблюдателя (как в случае радиолокационных наблюдений), эти данные наблюдений можно скорректировать по известным положению и скорости наблюдателя относительно притягивающего тела в момент наблюдения. Это определяет положение и скорость относительно притягивающего тела. Если имеются два таких наблюдения, а также разница во времени между ними, орбиту можно определить с помощью метода Ламберта, изобретенного в XVIII веке. Подробности см. в задаче Ламберта .

Даже если информация о расстоянии отсутствует, орбиту все равно можно определить, если были сделаны три или более наблюдений прямого восхождения и склонения тела. Метод Гаусса , прославившийся благодаря его «восстановлению» в 1801 году первой потерянной малой планеты , Цереры , впоследствии был отшлифован.

Одно из применений — определение масс астероидов динамическим методом . В этой процедуре метод Гаусса используется дважды: до и после тесного взаимодействия двух астероидов. После определения обеих орбит можно определить массу одного или обоих астероидов. ^{[ нужна цитата ]}

Определение орбиты по вектору состояния

Основная задача определения орбиты состоит в том, чтобы определить классические элементы орбиты или элементы Кеплера , , из векторов состояния орбиты [ ] вращающегося тела относительно системы отсчета его центрального тела. Центральные тела являются источниками гравитационных сил, как Солнце, Земля, Луна и другие планеты. С другой стороны, к орбитальным телам относятся планеты, вращающиеся вокруг Солнца, искусственные спутники, вращающиеся вокруг Земли, и космические корабли, вращающиеся вокруг планет. Законы движения Ньютона объяснят траекторию вращающегося тела, известную как кеплерова орбита . ${\displaystyle a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu }$ ${\displaystyle {\vec {r}},{\vec {v}}}$

Шаги определения орбиты по одному вектору состояния суммируются следующим образом:

• Вычислите конкретный угловой момент вращающегося тела по его вектору состояния: ${\displaystyle {\vec {h}}}$
  $${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},}$$
  где - единичный вектор оси z плоскости орбиты. Удельный угловой момент представляет собой постоянный вектор вращающегося тела, направление которого перпендикулярно плоскости орбиты вращающегося тела. ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Вычислите вектор восходящего узла из , представляя единичный вектор оси Z базовой плоскости, который перпендикулярен базовой плоскости центрального тела: ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle {\vec {K}}}$
  $${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.}$$
  Вектор восходящего узла — это вектор, направленный от центрального тела к восходящему узлу плоскости орбиты вращающегося тела. Поскольку линия восходящего узла является линией пересечения орбитальной плоскости и опорной плоскости, она перпендикулярна как векторам нормали опорной плоскости ( ), так и орбитальной плоскости ( или ). Следовательно, вектор восходящего узла может быть определен как векторное произведение этих двух векторов. ${\displaystyle {\vec {K}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$
• Вычислите вектор эксцентриситета орбиты. Вектор эксцентриситета имеет величину эксцентриситета орбиты и указывает на направление перицентра орбиты . Это направление часто определяется как ось X орбитальной плоскости и имеет единичный вектор . По закону движения это можно выразить так: ${\displaystyle {\vec {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\vec {i}}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle e=\left|{\vec {e}}\right|}$$
  где – стандартный гравитационный параметр для центрального тела массы , – универсальная гравитационная постоянная . ${\displaystyle \mu =GM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$
• Вычислите полуширотную прямую кишку орбиты и ее большую полуось (если это не параболическая орбита , где и не определено или определяется как бесконечность): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle a}$
  $${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})}$$
  $${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}},}$$
  (если ). ${\displaystyle e\neq 1}$
• Вычислите наклон орбитальной плоскости относительно базовой плоскости: ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}}$$
  где - координата Z, когда она проецируется на систему отсчета. ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}}$
• Вычислите долготу восходящего узла , который представляет собой угол между восходящей линией и осью X системы отсчета: ${\displaystyle \Omega }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}}$$
  где и – координаты X и Y соответственно точки в системе отсчета. ${\displaystyle n_{I}}$ ${\displaystyle n_{J}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$
  Обратите внимание, что , но определяется только в [0,180] градусах. Это неоднозначно, поскольку есть два угла, причем в [0,360], которые имеют одинаковое значение. На самом деле он может вернуть угол или . Следовательно, мы должны выносить суждение на основе знака координаты Y вектора в плоскости, где измеряется угол. В этом случае может быть использовано такое суждение. ${\displaystyle \cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C}$ ${\displaystyle \arccos(C)}$ ${\displaystyle \arccos(C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 360-A}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 360-A}$ ${\displaystyle n_{J}}$
• Вычислите аргумент периапсиса , который представляет собой угол между перицентром и восходящей линией: ${\displaystyle \omega }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}}$$
  где - координата Z в системе отсчета. ${\displaystyle e_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$
• Вычислите истинную аномалию в эпоху, которая представляет собой угол между вектором положения и перицентром в определенное время («эпоху») наблюдения: ${\displaystyle \nu }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}}$$
  Знак можно использовать для проверки квадранта и коррекции угла, поскольку он имеет тот же знак, что и угол траектории полета . И знак угла траектории полета всегда положителен, когда , и отрицателен, когда . ^[1] Оба связаны между собой и . ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]}$ ${\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]}$ ${\displaystyle h=rv\sin(90-\phi )}$ ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )}$
• При желании мы можем вычислить аргумент широты в эпоху, который представляет собой угол между вектором положения и восходящей линией в определенное время: ${\displaystyle u=\omega +\nu }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}}$$
  где - координата Z в системе отсчета. ${\displaystyle r_{K}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Рекомендации

1. Бейт Р.Р., Мюллер Д.Д., Уайт Дж.Э. Основы астродинамики. Курьерская корпорация; 1971. Глава 2, стр. 51 и след.

дальнейшее чтение

• Кертис, Х.; Орбитальная механика для студентов-инженеров , глава 5; Эльзевир (2005) ISBN  0-7506-6169-0 .
• Тафф, Л.; Небесная механика , главы 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1 . 
• Бейт, Мюллер, Уайт; Основы астродинамики , главы 2, 5; Дувр (1971) ISBN 0-486-60061-0 . 
• Мадонна Р.; Орбитальная механика , глава 3; Кригер (1997) ISBN 0-89464-010-0 . 
• Шютц, Тэпли, Борн; Статистическое определение орбиты , Академическое издательство. ISBN 978-0126836301 
• Определение орбиты спутника, Колледж Коустал-Бенд, Техас