Ориентация пучка

В математической области алгебраической топологии ориентационный пучок на многообразии X размерности n — это локально постоянный пучок o _X на X, такой что стебель o _X в точке x — это локальная группа гомологий

${\displaystyle o_{X,x}=\operatorname {H} _{n}(X,X-\{x\})}$

(в целых коэффициентах или некоторых других коэффициентах).

Пусть — пучок дифференциальных k -форм на многообразии M. Если n — размерность M , то пучок ${\displaystyle \Omega _{M}^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{M}=\Omega _{M}^{n}\otimes {\mathcal {o}}_{M}}$

называется пучком (гладких) плотностей на M. Суть этого в том, что, хотя можно интегрировать дифференциальную форму , только если многообразие ориентировано , можно всегда интегрировать плотность, независимо от ориентации или ориентируемости; существует отображение интегрирования:

${\displaystyle \textstyle \int _{M}:\Gamma _{c}(M,{\mathcal {V}}_{M})\to \mathbb {R} .}$

Если M ориентировано, т. е. ориентационный пучок касательного расслоения M буквально тривиален, то вышеизложенное сводится к обычному интегрированию дифференциальной формы.

Смотрите также

• Существует также определение в терминах дуализирующего комплекса в двойственности Вердье ; в частности, можно определить относительный ориентационный пучок, используя относительный дуализирующий комплекс.

Ссылки

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), Пучки на многообразиях , Берлин: Springer, ISBN 3540518614

Внешние ссылки

• Два вида ориентируемости/ориентации для дифференцируемого многообразия