Плоская кривая с наибольшим порядком контакта с другой кривой
Кривая C, содержащая точку P , где радиус кривизны равен r , вместе с касательной линией и соприкасающейся окружностью, касающейся C в точке P
В дифференциальной геометрии соприкасающаяся кривая — это плоская кривая из заданного семейства, имеющая максимально возможный порядок контакта с другой кривой. То есть, если F — семейство гладких кривых , C — гладкая кривая (в общем случае не принадлежащая F ), а P — точка на C , то соприкасающаяся кривая из F в P — это кривая из F , которая проходит через P и имеет как можно больше своих производных (последовательно от первой производной) в P, равных производным C. [1] [2]
Термин происходит от латинского корня «osculate», целоваться , потому что две кривые соприкасаются друг с другом более интимным образом, чем простое касание . [3]
Примеры
Соприкасающиеся эллипсы – Спираль не нарисована: мы видим ее как геометрическое место точек, в которых эллипсы расположены особенно близко друг к другу.
Примеры соприкасающихся кривых разных порядков включают в себя:
Касательная линия к кривой C в точке p , соприкасающаяся кривая из семейства прямых линий . Касательная линия разделяет свою первую производную ( наклон ) с C и, следовательно, имеет контакт первого порядка с C. [1] [2] [4]
Соприкасающаяся парабола к C в точке p , соприкасающаяся кривая из семейства парабол , имеет контакт третьего порядка с C. [2] [4]
Соприкасающаяся коника с C в точке p , соприкасающаяся кривая из семейства конических сечений , имеет контакт четвертого порядка с C. [2] [4]
Обобщения
Понятие оскулирования может быть обобщено на пространства более высоких размерностей и на объекты, которые не являются кривыми внутри этих пространств. Например, оскулирующая плоскость к пространственной кривой — это плоскость, которая имеет контакт второго порядка с кривой. Это самый высокий порядок, который возможен в общем случае. [5]
В одном измерении аналитические кривые считаются соприкасающимися в точке, если они разделяют первые три члена своего разложения Тейлора относительно этой точки. Эту концепцию можно обобщить до супероскуляции, при которой две кривые разделяют больше, чем первые три члена своего разложения Тейлора.
^ abc Раттер, Дж. В. (2000), Геометрия кривых, CRC Press, стр. 174–175, ISBN 9781584881667.
^ abcde Уильямсон, Бенджамин (1912), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению: содержащий теорию плоских кривых с многочисленными примерами, Лонгманс, Грин, стр. 309.
↑ Макс, Блэк (1954–1955), «Метафора», Труды Аристотелевского общества , Новая серия, 55 : 273–294. Перепечатано в книге Джонсона, Марка, ред. (1981), Философские перспективы метафоры , Издательство Миннесотского университета, стр. 63–82, ISBN 9780816657971. С. 69: «Соприкасающиеся кривые не целуются долго и быстро возвращаются к более прозаическому математическому контакту».
^ abcd Тейлор, Джеймс Морфорд (1898), Элементы дифференциального и интегрального исчисления: с примерами и приложениями, Ginn & Company, стр. 109–110.
^ Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия, Toronto University Mathematical Expositions, т. 11, Courier Dover Publications, стр. 32–33, ISBN9780486667218.
