Остаточная сумма квадратов

Статистическая мера расхождения между данными и оценочной моделью.

В статистике остаточная сумма квадратов ( RSS ), также известная как сумма квадратов остатков ( SSR ) или сумма квадратов оценок ошибок ( SSE ), представляет собой сумму квадратов остатков (отклонений , прогнозируемых от фактических эмпирических значений) . данных). Это мера несоответствия между данными и оценочной моделью, такой как линейная регрессия . Небольшой RSS указывает на точное соответствие модели данным. Он используется как критерий оптимальности при выборе параметров и модели .

В общем, общая сумма квадратов = объясненная сумма квадратов + остаточная сумма квадратов. Доказательство этого в многомерном случае обычных наименьших квадратов (МНК) см. в разделе «Разбиение в общей модели МНК» .

Одна объясняющая переменная

В модели с одной объясняющей переменной RSS определяется следующим образом: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}}$

где y _{i — i} -е ^{значение} прогнозируемой переменной, xi _{— i} -е значение ^{объясняющей} переменной и — прогнозируемое значение y _i (также называемое ). В стандартной модели линейной простой регрессии , , где и – коэффициенты , y и x – регрессия и регрессор соответственно, а ε – член ошибки . Сумма квадратов остатков равна сумме квадратов ; то есть ${\displaystyle f(x_{i})}$ ${\displaystyle {\hat {y_{i}}}}$ ${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}\,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum _{i=1}^{n}({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-({\widehat {\alpha \,}}+{\widehat {\beta \,}}x_{i}))^{2}}$

где – расчетное значение постоянного члена и – расчетное значение коэффициента наклона . ${\displaystyle {\widehat {\alpha \,}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\widehat {\beta \,}}}$ ${\displaystyle \beta }$

Матричное выражение для суммы квадратов остатков МНК

Общая модель регрессии с n наблюдениями и k объяснителями, первый из которых представляет собой постоянный единичный вектор, коэффициент которого является точкой пересечения регрессии:

${\displaystyle y=X\beta +e}$

где y — вектор наблюдений зависимой переменной размера n × 1, каждый столбец матрицы X размера n × k представляет собой вектор наблюдений на одном из k объяснителей, является вектором истинных коэффициентов размера k × 1, а e — это вектор n × 1 1 вектор истинных основных ошибок. Обычная оценка методом наименьших квадратов для ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X{\hat {\beta }}=y\iff }$

${\displaystyle X^{\operatorname {T} }X{\hat {\beta }}=X^{\operatorname {T} }y\iff }$

${\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y.}$

Остаточный вектор ; поэтому остаточная сумма квадратов равна: ${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y}$

${\displaystyle \operatorname {RSS} ={\hat {e}}^{\operatorname {T} }{\hat {e}}=\|{\hat {e}}\|^{2}}$,

(эквивалент квадрата нормы остатков ). В полном объеме:

${\displaystyle \operatorname {RSS} =y^{\operatorname {T} }y-y^{\operatorname {T} }X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y=y^{\operatorname {T} }[I-X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }]y=y^{\operatorname {T} }[I-H]y}$,

где H — матрица шляпы или матрица проекции в линейной регрессии.

Связь с корреляцией момента продукта Пирсона

Линия регрессии по методу наименьших квадратов определяется выражением

${\displaystyle y=ax+b}$,

где и , где и ${\displaystyle b={\bar {y}}-a{\bar {x}}}$ ${\displaystyle a={\frac {S_{xy}}{S_{xx}}}}$ ${\displaystyle S_{xy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})({\bar {y}}-y_{i})}$ ${\displaystyle S_{xx}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}.}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RSS} &=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-(ax_{i}+b))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}-{\bar {y}}+a{\bar {x}})^{2}\\[5pt]&=\sum _{i=1}^{n}(a({\bar {x}}-x_{i})-({\bar {y}}-y_{i}))^{2}=a^{2}S_{xx}-2aS_{xy}+S_{yy}=S_{yy}-aS_{xy}=S_{yy}\left(1-{\frac {S_{xy}^{2}}{S_{xx}S_{yy}}}\right)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle S_{yy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {y}}-y_{i})^{2}.}$

Таким образом, корреляция момента произведения Пирсона определяется следующим образом: ${\displaystyle r={\frac {S_{xy}}{\sqrt {S_{xx}S_{yy}}}};}$ ${\displaystyle \operatorname {RSS} =S_{yy}(1-r^{2}).}$

Смотрите также

• Информационный критерий Акаике # Сравнение по методу наименьших квадратов
• Распределение хи-квадрат#Приложения
• Степени свободы (статистика)#Сумма квадратов и степеней свободы
• Ошибки и остатки в статистике
• Несоответствующая сумма квадратов
• Среднеквадратическая ошибка
• Приведенная статистика хи-квадрат , RSS на степень свободы
• Квадратные отклонения
• Сумма квадратов (статистика)

Рекомендации

1. Архидиакон, Томас Дж. (1994). Корреляционно-регрессионный анализ: руководство историка . Университет Висконсина Пресс. стр. 161–162. ISBN 0-299-13650-7. ОСЛК  27266095.

• Дрейпер, Северная Каролина; Смит, Х. (1998). Прикладной регрессионный анализ (3-е изд.). Джон Уайли. ISBN 0-471-17082-8.