Относительный скаляр

В математике относительный скаляр (веса  w ) — это скалярная функция , преобразование которой при преобразовании координат

$${\displaystyle {\bar {x}}^{j}={\bar {x}}^{j}(x^{i})}$$

на n -мерном многообразии подчиняется следующему уравнению

$${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=J^{w}f(x^{i})}$$

где

$${\displaystyle J=\left|{\dfrac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})}}\right|,}$$

то есть определитель якобиана преобразования . ^[1] Скалярная плотность относится к случаю. ${\displaystyle w=1}$

Относительные скаляры являются важным частным случаем более общего понятия относительного тензора .

Обыкновенный скаляр

К случаю относится обычный скаляр или абсолютный скаляр ^[2] . ${\displaystyle w=0}$

Если и относятся к одной и той же точке многообразия, то мы желаем . Это уравнение можно интерпретировать двояко: когда оно рассматривается как «новые координаты» и как «исходные координаты». Первый — as , который «преобразует функцию в новые координаты». Второй — as , который «преобразовывает обратно в исходные координаты. Конечно, «новый» или «исходный» — понятие относительное. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{j}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i})}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{j}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))}$ ${\displaystyle f(x^{i})={\bar {f}}({\bar {x}}^{j}(x^{i}))}$

Существует множество физических величин, которые представлены обычными скалярами, например, температура и давление.

Пример веса 0

Предположим, что температура в комнате задана через функцию в декартовых координатах , а требуется функция в цилиндрических координатах . Две системы координат связаны следующими наборами уравнений: ${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (r,t,h)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\t&=\arctan(y/x)\\h&=z\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(t)\\y&=r\sin(t)\\z&=h.\end{aligned}}}$$

Использование позволяет получить преобразованную функцию. ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=2r\cos(t)+r\sin(t)+5}$

Рассмотрим точку , декартовы координаты которой равны и соответствующее значение которой в цилиндрической системе равно . Быстрый расчет показывает, что и также. Это равенство сохранялось бы для любой выбранной точки . Таким образом, – «функция температуры в декартовой системе координат» и – «функция температуры в цилиндрической системе координат». ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(2,3,4)}$ ${\displaystyle (r,t,h)=({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)}$ ${\displaystyle f(2,3,4)=12}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)}$

Один из способов рассматривать эти функции — это представление «родительской» функции, которая принимает точку многообразия в качестве аргумента и задает температуру.

Проблему можно было обратить вспять. Можно было бы дать и пожелать вывести декартову температурную функцию . Это просто переворачивает понятие «новой» и «исходной» системы координат. ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Предположим, что кто-то хочет интегрировать эти функции по «комнате», которая будет обозначаться . (Да, интегрирование температуры — это странно, но отчасти именно это и нужно показать.) Предположим, что область задана в цилиндрических координатах from , from и from (т. е. «комната» представляет собой четверть среза цилиндра радиуса и высоты 2 ). Интеграл по региону равен ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,\pi /2]}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$

^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle {\bar {f}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=12+10\pi .}$$

^{)мы получаем} ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=16+10\pi ,}$$

равентемпературы

Вес 1 пример

Однако если бы мы сказали , что представляет плотность массы, то ее преобразованное значение должно включать фактор Якобиана, который учитывает геометрическое искажение системы координат. Преобразованная функция теперь . На этот раз, но . Как и раньше, целое число (общая масса) в декартовых координатах равно ${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=(2r\cos(t)+r\sin(t)+5)r}$ ${\displaystyle f(2,3,4)=12}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12{\sqrt {29}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$

${\displaystyle {\bar {f}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=16+10\pi .}$$

плотности^{включаетмы получаем} ${\displaystyle {\bar {f}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=24+40\pi /3,}$$

Другие случаи

Веса, отличные от 0 и 1, встречаются не так часто. Можно показать, что определитель тензора типа (0,2) является относительным скаляром веса 2.

Смотрите также

• Матрица Якобиана и определитель

Рекомендации

1. Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1 апреля 1989 г.). «4». Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы (мягкая обложка) . Дувр. п. 103. ИСБН 0-486-65840-6. Проверено 19 апреля 2011 г.
2. Веблен, Освальд (2004). Инварианты квадратичных дифференциальных форм. Издательство Кембриджского университета . п. 21. ISBN 0-521-60484-2. Проверено 3 октября 2012 г.