Функция отражения Мироненко

Математическая функция

В прикладной математике отражающая функция дифференциальной системы связывает прошлое состояние системы с будущим состоянием системы по формуле Понятие отражающей функции ввел Владимир Иванович Мироненко . ${\displaystyle \,F(t,x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ ${\displaystyle \,x(-t)}$ ${\displaystyle \,x(t)}$ ${\displaystyle \,x(-t)=F(t,x(t)).}$

Определение

Для дифференциальной системы с общим решением в форме Коши отражающая функция системы определяется формулой ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ ${\displaystyle \varphi (t;t_{0},x)}$ ${\displaystyle F(t,x)=\varphi (-t;t,x).}$

Приложение

Если вектор-функция является -периодической относительно , ​​то является внутрипериодным преобразованием ( отображением Пуанкаре ) дифференциальной системы Поэтому знание отражающей функции дает нам возможность узнать начальные даты периодических решений дифференциальной системы и исследовать устойчивость этих решений. ${\displaystyle X(t,x)}$ ${\displaystyle \,2\omega }$ ${\displaystyle \,t}$ ${\displaystyle \,F(-\omega ,x)}$ ${\displaystyle \,[-\omega ;\omega ]}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x).}$ ${\displaystyle \,(\omega ,x_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$

Для отражающей функции системы основное соотношение ${\displaystyle \,F(t,x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$

${\displaystyle \,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,\qquad F(0,x)=x.}$

держит.

Поэтому у нас есть возможность иногда находить отображение Пуанкаре неинтегрируемых в квадратурных системах даже в элементарных функциях .

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Внешние ссылки

• Сайт отражающей функции
• Как построить эквивалентные дифференциальные системы