Оценка Кокрейна-Оркатта

Оценка Кокрейна–Оркатта — это процедура в эконометрике , которая корректирует линейную модель для последовательной корреляции в члене ошибки . Разработанная в 1940-х годах, она названа в честь статистиков Дональда Кокрейна и Гая Оркатта . ^[1]

Теория

Рассмотрим модель

${\displaystyle y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,}$

где — значение интересующей зависимой переменной в момент времени t , — вектор- столбец коэффициентов, которые необходимо оценить, — вектор-строка объясняющих переменных в момент времени t , а — остаточный член в момент времени t . ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

Если обнаружено, например, с помощью статистики Дарбина-Уотсона , что если ошибочный член последовательно коррелирует с течением времени, то стандартный статистический вывод , обычно применяемый к регрессиям , недействителен, поскольку стандартные ошибки оцениваются со смещением . Чтобы избежать этой проблемы, остатки должны быть смоделированы. Если обнаружено, что процесс, генерирующий остатки, является стационарной авторегрессионной структурой первого порядка , ^[2] , с ошибками { }, являющимися белым шумом , то процедура Кокрейна-Оркатта может быть использована для преобразования модели путем взятия квазиразности: ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1}$ ${\displaystyle e_{t}}$

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t}.\,}$

В этой спецификации члены ошибки являются белым шумом, поэтому статистический вывод действителен. Тогда сумма квадратов остатков (сумма квадратов оценок ) минимизируется относительно , ​​при условии . ${\displaystyle e_{t}^{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \rho }$

Неэффективность

Преобразование, предложенное Кокрейном и Оркаттом, игнорирует первое наблюдение временного ряда, что приводит к потере эффективности , которая может быть существенной в небольших выборках. ^[3] Более совершенное преобразование, которое сохраняет первое наблюдение с весом, было впервые предложено Прайсом и Уинстеном , ^[4] а затем независимо Кадилайей. ^[5] ${\displaystyle {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}$

Оценка параметра авторегрессии

Если неизвестно, то оно оценивается путем первой регрессии непреобразованной модели и получения остатков { }, а затем регрессии по , что приводит к оценке и делает преобразованную регрессию, описанную выше, осуществимой. (Обратите внимание, что одна точка данных, первая, теряется в этой регрессии.) Эту процедуру авторегрессии оцененных остатков можно выполнить один раз, и полученное значение можно использовать в преобразованной регрессии y , или остатки авторегрессии остатков сами могут быть авторегрессированы последовательными шагами до тех пор, пока не будет наблюдаться существенное изменение в оцененном значении . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t-1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Итеративная процедура Кокрейна–Оркатта может сходиться к локальному, но не глобальному минимуму остаточной суммы квадратов. ^{[6] [7] [8]} Эта проблема исчезает при использовании вместо этого преобразования Прайса–Винстена , которое сохраняет начальное наблюдение. ^[9]

Смотрите также

• Оценка Хилдрета–Лу
• Оценка Ньюи–Уэста
• Оценка Прайса–Винстена
• Допустимые обобщенные наименьшие квадраты

Ссылки

1. Cochrane, D.; Orcutt, GH (1949). «Применение регрессии наименьших квадратов к соотношениям, содержащим автокоррелированные члены ошибок». Журнал Американской статистической ассоциации . 44 (245): 32–61. doi :10.1080/01621459.1949.10483290.
2. Вулдридж, Джеффри М. (2013). Введение в эконометрику: современный подход (Пятое международное издание). Мейсон, Огайо: Юго-Западный. С. 409–415. ISBN 978-1-111-53439-4.
3. Рао, Потлури; Грилихес, Цви (1969). «Свойства малой выборки нескольких двухэтапных методов регрессии в контексте автокоррелированных ошибок». Журнал Американской статистической ассоциации . 64 (325): 253–272. doi :10.1080/01621459.1969.10500968. JSTOR  2283733.
4. Prais, SJ; Winsten, CB (1954). "Оценщики тренда и серийная корреляция" (PDF) . Дискуссионный документ Комиссии Коулза № 383. Чикаго.
5. Кадияла, Котесвара Рао (1968). «Преобразование, используемое для обхода проблемы автокорреляции». Эконометрика . 36 (1): 93–96. дои : 10.2307/1909605. JSTOR  1909605.
6. Дюфур, Дж. М.; Годри, М. Дж. И.; Лием, TC (1980). «Численные примеры процедуры Кокрейна-Оркатта для множественных допустимых минимумов». Economics Letters . 6 (1): 43–48. doi :10.1016/0165-1765(80)90055-5.
7. Оксли, Лесли Т.; Робертс, Колин Дж. (1982). «Подводные камни в применении метода Кокрейна-Оркатта». Оксфордский вестник экономики и статистики . 44 (3): 227–240. doi :10.1111/j.1468-0084.1982.mp44003003.x.
8. Дюфур, Дж. М.; Годри, М. Дж. И.; Хафер, Р. В. (1983). «Предупреждение об использовании процедуры Кокрейна-Оркатта, основанной на уравнении спроса на деньги». Эмпирическая экономика . 8 (2): 111–117. doi :10.1007/BF01973194. S2CID  152953205.
9. Доран, Ховард; Кмента, Ян (1992). «Множественные минимумы в оценке моделей с авторегрессионными возмущениями». Обзор экономики и статистики . 74 (2): 354–357. doi :10.2307/2109671. hdl : 2027.42/91908 . JSTOR  2109671.

Дальнейшее чтение

• Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Oxford University Press. стр. 327–373. ISBN 0-19-506011-3.
• Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). «Автокорреляция». Advanced Econometric Methods . New York: Springer. С. 205–236. ISBN 0-387-96868-7.
• Гамильтон, Джеймс Д. (1994). Анализ временных рядов . Принстон: Princeton University Press. стр. 220–225. ISBN 0-691-04289-6.
• Джонстон, Джон (1972). Эконометрические методы (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 259–265.
• Кмента, Ян (1986). Элементы эконометрики (Второе изд.). Нью-Йорк: Macmillan. С. 302–317. ISBN 0-02-365070-2.

Внешние ссылки

• Лекция по эконометрике (тема: процедура Кокрейна–Оркатта) на YouTube от Марка Тома .