Оценка спектральной плотности

Метод обработки сигнала

В статистической обработке сигналов целью оценки спектральной плотности ( SDE ) или просто спектральной оценки является оценка спектральной плотности (также известной как спектральная плотность мощности ) сигнала из последовательности временных выборок сигнала. ^[1] Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует частотный состав сигнала. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.

Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) числа генерируемых частот плюс шум, и стремятся найти местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают никаких предположений о числе компонентов и стремятся оценить весь генерируемый спектр.

Обзор

Пример формы голосового сигнала и его частотного спектра

Периодическая форма волны ( треугольная волна ) и ее частотный спектр, показывающий «основную» частоту 220 Гц, за которой следуют кратные ей (гармоники) 220 Гц.

Спектральная плотность мощности фрагмента музыки оценивается двумя различными методами, для сравнения

Спектральный анализ , также называемый анализом частотной области или оценкой спектральной плотности, представляет собой технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описываются как сумма многих отдельных частотных компонентов. Любой процесс, который количественно определяет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фазы ), можно назвать спектральным анализом .

Спектральный анализ может быть выполнен для всего сигнала. В качестве альтернативы сигнал может быть разбит на короткие сегменты (иногда называемые кадрами ), и спектральный анализ может быть применен к этим отдельным сегментам. Периодические функции (такие как ) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций попадают в категорию анализа Фурье . ${\displaystyle \sin(t)}$

Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью реконструирована ( синтезирована ) с помощью обратного преобразования Фурье . Для идеальной реконструкции анализатор спектра должен сохранять как амплитуду , так и фазу каждого частотного компонента. Эти два фрагмента информации могут быть представлены в виде двумерного вектора, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. е. как фазор ) . Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае полученный график называется спектром мощности .

Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление в частотной области . Линейные операции, которые могут быть выполнены во временной области, имеют аналоги, которые часто могут быть выполнены более легко в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только нелинейные или зависящие от времени операции могут создавать новые частоты в частотном спектре.

На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, которые генерируют частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала и которое обеспечивает математическое приближение к полному интегральному решению. ДПФ почти всегда реализуется эффективным алгоритмом, называемым быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Массив квадратичных компонент ДПФ представляет собой тип спектра мощности, называемый периодограммой , который широко используется для изучения частотных характеристик функций без шума, таких как импульсные характеристики фильтров и функции окна . Но периодограмма не обеспечивает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже к синусоидам при низких отношениях сигнал/шум. Другими словами, дисперсия ее спектральной оценки на заданной частоте не уменьшается с увеличением числа выборок, используемых в вычислении. Это можно смягчить путем усреднения по времени ( метод Уэлча ^[2] ) или по частоте ( сглаживание ). Метод Уэлча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие смещения, которые неприемлемы в некоторых приложениях. Поэтому в следующем разделе представлены другие альтернативы.

Методы

Было разработано много других методов спектральной оценки, чтобы смягчить недостатки базовой периодограммы. Эти методы в целом можно разделить на непараметрические , параметрические и , в последнее время, полупараметрические (также называемые разреженными) методы. ^[3] Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо определенную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценок, используемых для основных приложений (например, метод Уэлча ), являются непараметрическими оценками, тесно связанными с периодограммой. Напротив, параметрические подходы предполагают, что базовый стационарный стохастический процесс имеет определенную структуру, которую можно описать с помощью небольшого числа параметров (например, с помощью модели авторегрессии или скользящего среднего ). В этих подходах задача состоит в оценке параметров модели, описывающей стохастический процесс. При использовании полупараметрических методов базовый процесс моделируется с использованием непараметрической структуры с дополнительным предположением, что число ненулевых компонентов модели мало (т. е. модель разрежена). Аналогичные подходы могут также использоваться для восстановления отсутствующих данных ^[4] , а также для реконструкции сигнала .

Ниже приведен частичный список методов оценки спектральной плотности:

• Непараметрические методы , для которых выборки сигнала могут быть неравномерно разнесены во времени ( записи могут быть неполными )
  • Спектральный анализ методом наименьших квадратов , основанный на подгонке методом наименьших квадратов к известным частотам
  • Периодограмма Ломба-Скаргла , приближение спектрального анализа наименьших квадратов
  • Неравномерное дискретное преобразование Фурье

• Непараметрические методы , для которых выборки сигнала должны быть равномерно распределены во времени ( записи должны быть полными ):
  • Периодограмма , квадрат модуля дискретного преобразования Фурье
  • Метод Бартлетта представляет собой усреднение периодограмм, взятых из нескольких сегментов сигнала, для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности.
  • Метод Уэлча — оконная версия метода Бартлетта, использующая перекрывающиеся сегменты.
  • Multitaper — это метод на основе периодограммы, который использует несколько конусов или окон для формирования независимых оценок спектральной плотности с целью уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности.
  • Сингулярный спектральный анализ — это непараметрический метод, который использует сингулярное разложение ковариационной матрицы для оценки спектральной плотности.
  • Кратковременное преобразование Фурье
  • Критический фильтр — это непараметрический метод, основанный на теории информационного поля , который может работать с шумом, неполными данными и инструментальными функциями отклика.
• Параметрические методы (неполный список):
  • Оценка модели авторегрессии (AR), которая предполагает, что n -й образец коррелирует с предыдущими p образцами.
  • Оценка модели скользящего среднего (MA), которая предполагает, что n- й образец коррелирует с шумовыми членами в предыдущих p образцах.
  • Оценка авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которая обобщает модели AR и MA.
  • Классификация множественных сигналов (MUSIC) — популярный метод сверхразрешения .
  • Еще одним методом сверхразрешения является оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности (ESPRIT).
  • Спектральная оценка максимальной энтропии — это метод всех полюсов, полезный для SDE, когда ожидаются особые спектральные особенности, такие как острые пики.
• Полупараметрические методы (неполный список):
  • Оценка SPICE (итеративной ковариационной оценки) ^[3] и более обобщенная -SPICE. ^[5] ${\displaystyle (r,q)}$
  • Оценка итеративного адаптивного подхода (IAA). ^[6]
  • Лассо , аналогично спектральному анализу наименьших квадратов , но со штрафом за разреженность. ^[7]

Параметрическая оценка

При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется стационарным процессом , имеющим функцию спектральной плотности (СФП), которая является функцией частоты и параметров . ^[8] Тогда задача оценки становится задачей оценки этих параметров. ${\displaystyle S(f;a_{1},\ldots ,a_{p})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{p}}$

Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели авторегрессионную модель порядка . ^{[8] : 392} Последовательность сигналов, подчиняющаяся процессу с нулевым средним, удовлетворяет уравнению ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{Y_{t}\}}$ ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

${\displaystyle Y_{t}=\phi _{1}Y_{t-1}+\phi _{2}Y_{t-2}+\cdots +\phi _{p}Y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

где - фиксированные коэффициенты и - процесс белого шума с нулевым средним и инновационной дисперсией . SDF для этого процесса - ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$ ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$

${\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2i\pi fk\Delta t}\right|^{2}}}\qquad |f|<f_{N},}$

с интервалом времени выборки и частотой Найквиста . ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle f_{N}}$

Существует ряд подходов к оценке параметров процесса и, следовательно, спектральной плотности: ^{[8] : 452-453} ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

• Оценки Юла–Уокера находятся путем рекурсивного решения уравнений Юла–Уокера для процесса ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• Оценки Бёрга найдены путем обработки уравнений Юла–Уокера как формы обычной задачи наименьших квадратов. Оценки Бёрга обычно считаются превосходящими оценки Юла–Уокера. ^{[8] : 452} Бёрг связал их с максимальной энтропийной спектральной оценкой . ^[9]
• Оценки методом наименьших квадратов вперед-назад рассматривают процесс как задачу регрессии и решают эту задачу с помощью метода вперед-назад. Они конкурентоспособны с оценками Бурга. ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• Оценщики максимального правдоподобия оценивают параметры с использованием подхода максимального правдоподобия . Это подразумевает нелинейную оптимизацию и является более сложным, чем первые три.

Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и к модели полностью авторегрессионного скользящего среднего (ARMA).

Оценка частоты

Оценка частоты — это процесс оценки частоты , амплитуды и фазового сдвига сигнала в присутствии шума с учетом предположений о количестве компонентов. ^[10] Это контрастирует с общими методами, описанными выше, которые не делают предварительных предположений о компонентах.

Один тон

Если требуется оценить только частоту одного самого громкого чистого тонального сигнала , можно использовать алгоритм определения высоты тона .

Если доминирующая частота изменяется с течением времени, то проблема становится оценкой мгновенной частоты , как определено в представлении время-частота . Методы оценки мгновенной частоты включают методы, основанные на распределении Вигнера-Вилле и функциях неопределенности более высокого порядка . ^[11]

Если требуется узнать все (возможно, сложные) частотные компоненты принятого сигнала (включая переданный сигнал и шум), используется многотональный подход.

Многотональный

Типичная модель сигнала состоит из суммы комплексных экспонент в присутствии белого шума , ${\displaystyle x(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w(n)}$

${\displaystyle x(n)=\sum _{i=1}^{p}A_{i}e^{jn\omega _{i}}+w(n)}$.

Спектральная плотность мощности состоит из импульсных функций в дополнение к функции спектральной плотности, обусловленной шумом. ${\displaystyle x(n)}$ ${\displaystyle p}$

Наиболее распространенные методы оценки частоты включают идентификацию шумового подпространства для извлечения этих компонентов. Эти методы основаны на собственном разложении матрицы автокорреляции на сигнальное подпространство и шумовое подпространство. После того, как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения частот компонентов из шумового подпространства. Наиболее популярными методами оценки частоты на основе шумового подпространства являются метод Писаренко , метод классификации множественных сигналов (MUSIC), метод собственных векторов и метод минимальной нормы.

Метод Писаренко

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{\text{min}}\right|^{2}}}}$

МУЗЫКА

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$,

Метод собственных векторов

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$

Метод минимальной нормы

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {a} \right|^{2}}};\ \mathbf {a} =\lambda \mathbf {P} _{n}\mathbf {u} _{1}}$

Пример расчета

Предположим , что от до — временной ряд (дискретное время) с нулевым средним. Предположим, что это сумма конечного числа периодических компонент (все частоты положительны): ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left(\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\\&=\sum _{k}\left(\overbrace {a_{k}} ^{A_{k}\sin(\phi _{k})}\cos(2\pi \nu _{k}n)+\overbrace {b_{k}} ^{A_{k}\cos(\phi _{k})}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\end{aligned}}}$

Дисперсия для функции с нулевым средним, как указано выше, определяется выражением ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, то это была бы его средняя мощность (мощность — это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).

Теперь для простоты предположим, что сигнал бесконечно распространяется во времени, поэтому перейдем к пределу: Если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в реальности, то существует следующий предел, представляющий собой дисперсию данных. ${\displaystyle N\to \infty .}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Опять же, для простоты, перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы станут

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$

и

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}dt.}$

Среднеквадратичное значение равно , поэтому дисперсия равна Следовательно, вклад в среднюю мощность, исходящий от компонента с частотой , равен Все эти вклады складываются в среднюю мощность ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \nu _{k}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$ ${\displaystyle x(t).}$

Тогда мощность как функция частоты равна , а ее статистическая кумулятивная функция распределения будет иметь вид ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}$ ${\displaystyle S(\nu )}$

${\displaystyle S(\nu )=\sum _{k:\nu _{k}<\nu }{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$

${\displaystyle S}$— ступенчатая функция , монотонно не убывающая. Ее скачки происходят на частотах периодических компонентов , а значение каждого скачка — это мощность или дисперсия этого компонента. ${\displaystyle x}$

Дисперсия — это ковариация данных с самим собой. Если мы теперь рассмотрим те же данные, но с задержкой , мы можем взять ковариацию с и определить ее как функцию автокорреляции сигнала (или данных) : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t+\tau )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt.}$

Если существует, то это четная функция от Если средняя мощность ограничена, то существует всюду, конечна и ограничена чем является средняя мощность или дисперсия данных. ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(0),}$

Можно показать, что можно разложить на периодические составляющие с такими же периодами, как : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\sum _{k}{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}$

Фактически это спектральное разложение по различным частотам, и оно связано с распределением мощности по частотам: амплитуда частотной составляющей представляет собой ее вклад в среднюю мощность сигнала. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

Спектр мощности этого примера не является непрерывным, и поэтому не имеет производной, и поэтому этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем случае спектр мощности обычно будет суммой двух частей: линейного спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который абсолютно непрерывен и имеет функцию плотности.

Смотрите также

• Многомерная спектральная оценка
• Периодограмма
• SigSpec
• Спектрограмма
• Частотно-временной анализ
• Частотно-временное представление
• Вероятность уменьшения
• Спектральное распределение мощности

Ссылки

1. П. Стоика и Р. Мозес, Спектральный анализ сигналов, Prentice Hall, 2005.
2. Уэлч, PD (1967), «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени коротких модифицированных периодограмм», IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , AU-15 (2): 70–73, Bibcode : 1967ITAE...15...70W, doi : 10.1109/TAU.1967.1161901, S2CID  13900622
3. Stoica, Petre; Babu, Prabhu; Li, Jian (январь 2011 г.). «Новый метод оценки разреженных параметров в разделимых моделях и его использование для спектрального анализа нерегулярно выбранных данных». IEEE Transactions on Signal Processing . 59 (1): 35–47. Bibcode : 2011ITSP...59...35S. doi : 10.1109/TSP.2010.2086452. ISSN  1053-587X. S2CID  15936187.
4. Stoica, Petre; Li, Jian; Ling, Jun; Cheng, Yubo (апрель 2009). «Восстановление пропущенных данных с помощью непараметрического итерационного адаптивного подхода». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов 2009 года . IEEE. стр. 3369–3372. doi :10.1109/icassp.2009.4960347. ISBN 978-1-4244-2353-8.
5. Свард, Йохан; Адальбьорнссон, Стефан Инги; Якобссон, Андреас (март 2017 г.). «Обобщение разреженной итерационной ковариационной оценки». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP) 2017 г. IEEE. стр. 3954–3958. doi :10.1109/icassp.2017.7952898. ISBN 978-1-5090-4117-6. S2CID  5640068.
6. Yardibi, Tarik; Li, Jian; Stoica, Petre; Xue, Ming; Baggeroer, Arthur B. (январь 2010 г.). «Локализация и обнаружение источника: непараметрический итеративный адаптивный подход на основе взвешенных наименьших квадратов». IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 46 (1): 425–443. Bibcode : 2010ITAES..46..425Y. doi : 10.1109/TAES.2010.5417172. hdl : 1721.1/59588 . ISSN  0018-9251. S2CID  18834345.
7. Панахи, Ашкан; Виберг, Матс (февраль 2011 г.). «О разрешении метода оценки DOA на основе LASSO». Международный семинар ITG по интеллектуальным антеннам 2011 г. IEEE. стр. 1–5. doi :10.1109/wsa.2011.5741938. ISBN 978-1-61284-075-8. S2CID  7013162.
8. Персиваль, Дональд Б.; Уолден, Эндрю Т. (1992). Спектральный анализ для физических приложений . Cambridge University Press. ISBN 9780521435413.
9. Берг, Дж. П. (1967) «Спектральный анализ с максимальной энтропией», Труды 37-го заседания Общества геофизиков-разведчиков , Оклахома-Сити, Оклахома.
10. Хейс, Монсон Х., Статистическая цифровая обработка сигналов и моделирование , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 . 
11. Лерга, Джонатан. "Обзор методов оценки мгновенной частоты сигнала" (PDF) . Университет Риеки . Получено 22 марта 2014 г. .

Дальнейшее чтение

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2.
• Пристли, МБ (1991). Спектральный анализ и временные ряды . Academic Press. ISBN 978-0-12-564922-3.

• Stoica, P.; Moses, R. (2005). Спектральный анализ сигналов . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5.

• Томсон, DJ (1982). «Оценка спектра и гармонический анализ». Труды IEEE . 70 (9): 1055–1096. Bibcode : 1982IEEEP..70.1055T. CiteSeerX  10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109/PROC.1982.12433. S2CID  290772.