Пауль Эрдёш ( венгерский : Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] ; 26 марта 1913 — 20 сентября 1996) — венгерский математик. Он был одним из самых плодовитых математиков и авторов математических гипотез [2] 20-го века. [3] Эрдёш занимался и предлагал проблемы в дискретной математике , теории графов , теории чисел , математическом анализе , теории приближений , теории множеств и теории вероятностей . [4] Большая часть его работы была сосредоточена вокруг дискретной математики, решая многие ранее нерешённые проблемы в этой области. Он отстаивал и внёс вклад в теорию Рамсея , которая изучает условия, при которых порядок обязательно появляется. В целом, его работа была направлена на решение ранее открытых проблем , а не на разработку или исследование новых областей математики.
Эрдёш опубликовал около 1500 математических работ за свою жизнь, цифра, которая остаётся непревзойдённой. [5] Он твёрдо верил, что математика — это социальная деятельность, ведя странствующий образ жизни (т. е. человек, чей образ жизни включает в себя путешествия) с единственной целью — писать математические работы с другими математиками. Он был известен как своей социальной практикой математики, работая с более чем 500 соавторами, так и своим эксцентричным образом жизни; журнал Time назвал его «Чудаком чудака». [6] Он посвящал свои часы бодрствования математике, даже в последние годы своей жизни — действительно, его смерть наступила на математической конференции в Варшаве . [7] Плодотворный результат Эрдёша с соавторами побудил создать число Эрдёша , количество шагов на кратчайшем пути между математиком и Эрдёшем с точки зрения соавторства.
Пауль Эрдёш родился 26 марта 1913 года в Будапеште , Австро-Венгрия , [8] он был единственным выжившим ребёнком Анны ( урождённой Вильгельм) и Лайоша Эрдёша (урождённого Энглендер). [9] [10] Его две сестры, трёх и пяти лет, умерли от скарлатины за несколько дней до его рождения. [11] Его родители, оба евреи , были учителями математики в средней школе. Его увлечение математикой проявилось рано. Его частично воспитывала немецкая гувернантка [12], потому что его отец находился в плену в Сибири как австро-венгерский военнопленный в 1914–1920 годах, [10] из-за чего его матери приходилось много работать, чтобы содержать их семью. Его отец сам выучил английский язык, находясь в плену, но неправильно произносил многие слова. Когда позже Лайош научил сына говорить по-английски, Пол усвоил произношение отца, которое продолжал использовать до конца своей жизни. [13]
Он сам научился читать математические тексты, которые его родители оставляли дома. К пяти годам, учитывая возраст человека, он мог в уме подсчитать, сколько секунд он прожил. [12] Из-за смерти своих сестер у него были близкие отношения с матерью, и, как сообщается, они спали в одной постели, пока он не уехал в колледж. [14] [15]
Когда ему было 16, отец познакомил его с двумя предметами, которые стали его любимыми на всю жизнь — бесконечные ряды и теория множеств . В старших классах Эрдёш стал ярым решателем задач, которые появлялись каждый месяц в KöMaL , «Математическом и физическом журнале для средних школ». [16]
Эрдёш начал учиться в Будапештском университете , когда ему было 17 лет, после победы на национальном экзамене. В то время прием евреев в венгерские университеты был строго ограничен в соответствии с numerus clausus . [13] [17] К тому времени, как ему исполнилось 20 лет, он нашел доказательство теоремы Чебышева . [17] В 1934 году, в возрасте 21 года, он получил докторскую степень по математике. [17] Руководителем диссертации Эрдёша был Липот Фейер , который также был руководителем диссертации Джона фон Неймана , Джорджа Полиа и Пола (Пала) Турана . Он получил постдокторскую стипендию в Манчестере , поскольку евреи в Венгрии страдали от притеснений со стороны авторитарного режима . Там он познакомился с Годфри Гарольдом Харди и Стэном Уламом . [13]
Поскольку он был евреем, Эрдёш решил, что Венгрия опасна, и покинул страну, переехав в США в 1938 году. [17] Многие члены семьи Эрдёша, включая двух его тёток, двух его дядей и его отца, погибли в Будапеште во время Второй мировой войны. Его мать была единственной, кто выжил. В то время он жил в Америке и работал в Институте перспективных исследований в Принстоне. [17] [18] Однако его стипендия в Принстоне была продлена только на 6 месяцев вместо ожидаемого года из-за того, что Эрдёш не соответствовал стандартам этого места; они сочли его «неотёсанным и нетрадиционным». [13]
Описанный его биографом Полом Хоффманом как «вероятно, самый эксцентричный математик в мире», Эрдёш провёл большую часть своей взрослой жизни, живя на чемодане . [19] За исключением нескольких лет в 1950-х годах, когда ему не разрешили въехать в Соединенные Штаты из-за обвинения в том, что он симпатизировал коммунистам, его жизнь представляла собой непрерывную череду поездок с одной встречи или семинара на другую. [19] Во время своих визитов Эрдёш ожидал, что хозяева разместят его, накормят, постирают его вещи и предоставят всё необходимое, а также организуют ему дорогу до следующего места назначения. [19]
Улам оставил свой пост в Университете Висконсин-Мэдисон в 1943 году, чтобы работать над Манхэттенским проектом в Лос-Аламосе, штат Нью-Мексико, с другими математиками и физиками. Он пригласил Эрдёша присоединиться к проекту, но приглашение было отозвано, когда Эрдёш выразил желание вернуться в Венгрию после войны. [13]
20 сентября 1996 года, в возрасте 83 лет, у него случился сердечный приступ , и он умер во время посещения конференции в Варшаве . [20] Эти обстоятельства были близки к тому, как он хотел умереть. Однажды он сказал:
Я хочу читать лекцию, заканчивая важное доказательство на доске, и тут кто-то в аудитории восклицает: «А как насчет общего случая?». Я повернусь к аудитории и улыбнусь: «Оставлю это следующему поколению», а затем упаду. [20]
Эрдёш никогда не был женат и не имел детей. [9] Он похоронен рядом со своей матерью и отцом на еврейском кладбище на улице Козма в Будапеште. [21] В качестве эпитафии он предложил: «Я наконец-то перестал тупеть». (Венгерский: «Végre nem butulok tovább» ). [22]
Имя Эрдёша содержит венгерскую букву « ő » («о» с двойным острым ударением ), но часто неправильно пишется как Эрдёш или Эрдёш либо «по ошибке, либо из-за типографской необходимости». [23]
В 1934 году Эрдёш переехал в Манчестер , Англия, чтобы стать приглашенным лектором. В 1938 году он принял свою первую американскую должность стипендиата в Институте перспективных исследований , Принстон, Нью-Джерси, на следующие десять лет. Несмотря на выдающиеся работы с Марком Кацем и Аурелом Винтнером по вероятностной теории чисел , Палом Тураном по теории приближений и Витольдом Гуревичем по теории размерности, его стипендия не была продолжена, и Эрдёш был вынужден занять должности странствующего ученого в Университете Пенсильвании , Нотр-Дам , Пердью , Стэнфорде и Сиракузах . [24] Он не оставался долго на одном месте, вместо этого путешествуя между математическими институтами до своей смерти.
В результате Красной угрозы и маккартизма [25] [ 26] [27] в 1954 году Служба иммиграции и натурализации отказала Эрдёшу, гражданину Венгрии, в выдаче повторной въездной визы в США. [28] Преподавая в то время в Университете Нотр-Дам , Эрдёш мог бы остаться в стране. Вместо этого он собрал вещи и уехал, хотя и периодически запрашивал пересмотр дела в Иммиграционной службе США. В какой-то момент он переехал жить в Израиль и получил должность в течение трех месяцев в Еврейском университете в Иерусалиме, а затем должность «постоянного приглашенного профессора» в Технионе.
Венгрия в то время была в Варшавском договоре с Советским Союзом . Хотя Венгрия ограничивала свободу своих граждан въезжать и выезжать из страны, в 1956 году она предоставила Эрдёшу исключительную привилегию въезжать и выезжать из страны по своему усмотрению.
В 1963 году иммиграционная служба США предоставила Эрдёшу визу, и он возобновил преподавание и поездки в американские учреждения. Десять лет спустя, в 1973 году, 60-летний Эрдёш добровольно покинул Венгрию. [29]
В течение последних десятилетий своей жизни Эрдёш получил не менее пятнадцати почетных докторских степеней. Он стал членом научных академий восьми стран, включая Национальную академию наук США и Королевское общество Великобритании . [30] Он стал иностранным членом Королевской академии искусств и наук Нидерландов в 1977 году . [31] Незадолго до своей смерти он отказался от своей почетной степени Университета Ватерлоо из-за того, что он считал несправедливым отношением к коллеге Адриану Бонди . [32] [33]
Эрдёш был одним из самых плодовитых издателей статей в истории математики, сравнимым только с Леонардом Эйлером ; Эрдёш опубликовал больше статей, в основном в сотрудничестве с другими математиками, в то время как Эйлер опубликовал больше страниц, в основном самостоятельно. [34] Эрдёш написал около 1525 математических статей за свою жизнь, [35] в основном с соавторами. Он твердо верил в математику и практиковал ее как социальную деятельность, [36] имея 511 различных соавторов за свою жизнь. [37]
В своем математическом стиле Эрдёш был скорее «решателем проблем», чем «разработчиком теорий» (см. «Две культуры математики» [38] Тимоти Гауэрса для углубленного обсуждения двух стилей, и того, почему решатели проблем, возможно, менее ценятся). Джоэл Спенсер утверждает, что «его место в математическом пантеоне 20-го века является предметом некоторых споров, поскольку он решительно концентрировался на отдельных теоремах и гипотезах на протяжении всей своей выдающейся карьеры». [39] Эрдёш никогда не выигрывал медаль Филдса (высшую математическую премию, доступную при его жизни), и не был соавтором ни одной статьи с кем-либо, кто ее выигрывал, [40] эта закономерность распространяется и на другие премии. [41] Он выиграл премию Вольфа 1983/84 «за его многочисленные вклады в теорию чисел , комбинаторику , вероятность , теорию множеств и математический анализ , а также за личное стимулирование математиков во всем мире». [42] Напротив, работы трех победителей после этого были признаны «выдающимися», «классическими» и «глубокими», а трех предыдущих — «фундаментальными» или «основополагающими».
Из его вкладов особенно выделяются разработка теории Рамсея и применение вероятностного метода . Экстремальная комбинаторика обязана ему целым подходом, частично выведенным из традиции аналитической теории чисел . Эрдёш нашёл доказательство постулата Бертрана , которое оказалось гораздо более аккуратным, чем оригинальное доказательство Чебышёва. Он также открыл первое элементарное доказательство теоремы о простых числах вместе с Атле Сельбергом . Однако обстоятельства, приведшие к доказательствам, а также разногласия в публикациях привели к ожесточенному спору между Эрдёшем и Сельбергом. [43] [44] Эрдёш также внёс вклад в области, к которым он имел мало реального интереса, такие как топология , где он считается первым человеком, приведшим пример полностью несвязного топологического пространства , которое не является нульмерным , пространства Эрдёша . [45]
Эрдёш имел репутацию человека, ставящего новые проблемы, а также решающего существующие – Эрнст Штраус называл его «абсолютным монархом среди ставящих задачи». [7] На протяжении всей своей карьеры Эрдёш предлагал выплаты за решения нерешённых проблем. [46] Они варьировались от 25 долларов за проблемы, которые, по его мнению, были просто вне досягаемости современного математического мышления (как его, так и других) до 10 000 долларов [47] за проблемы, которые были одновременно трудны для атаки и математически значимы. Некоторые из этих проблем с тех пор были решены, включая самую прибыльную – гипотезу Эрдёша о простых промежутках , которая была решена в 2014 году, и 10 000 долларов были выплачены. [48]
Считается, что нерешёнными остаются по меньшей мере тысяча задач, хотя официального или полного списка нет. Предложения оставались активными, несмотря на смерть Эрдёша; Рональд Грэхем был (неофициальным) администратором решений, и решатель мог получить либо оригинальный чек, подписанный Эрдёшем до его смерти (только на память, не может быть обналичен), либо обналичиваемый чек от Грэхема. [49] [ требуется обновление ] Британский математик Томас Блум запустил веб-сайт, посвящённый задачам Эрдёша, в 2024 году. [50]
Возможно, наиболее примечательной с математической точки зрения из этих проблем является гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях :
Если сумма обратных величин последовательности целых чисел расходится , то последовательность содержит арифметические прогрессии произвольной длины.
Если это правда, это решило бы несколько других открытых проблем в теории чисел (хотя одно из главных следствий этой гипотезы, что простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии, было с тех пор доказано независимо как теорема Грина-Тао ). Плата за решение этой проблемы в настоящее время составляет 5000 долларов США. [51]
Наиболее известная задача с премией Эрдёша — это, вероятно, гипотеза Коллатца , также называемая задачей 3 N + 1. Эрдёш предлагал 500 долларов за решение.
Наиболее частыми соавторами Эрдёша были венгерские математики Андраш Шаркёзи (62 статьи) и Андраш Хайнал (56 статей), а также американский математик Ральф Фодри (50 статей). Другими частыми соавторами были следующие: [52]
Других соавторов Эрдёша см. в списке людей с номером Эрдёша 1 в разделе Список людей по номеру Эрдёша .
Из-за его плодовитого труда друзья создали число Эрдёша в качестве дани уважения. Число Эрдёша описывает степень отделения человека от самого Эрдёша, основанную на их сотрудничестве с ним или с другим человеком, у которого есть собственное число Эрдёша. Только Эрдёшу было присвоено число Эрдёша 0 (за то, что он был самим собой), в то время как его непосредственные сотрудники могли претендовать на число Эрдёша 1, их сотрудники имели число Эрдёша не более 2 и так далее. Примерно 200 000 математиков имеют назначенное число Эрдёша, [53] и некоторые подсчитали, что 90 процентов активных математиков мира имеют число Эрдёша меньше 8 (что неудивительно в свете феномена тесен мир ). Благодаря сотрудничеству с математиками многие ученые в таких областях, как физика, инженерия, биология и экономика, также имеют числа Эрдёша. [54]
Несколько исследований показали, что ведущие математики, как правило, имеют особенно низкие числа Эрдёша. [55] Например, примерно 268 000 математиков с известным числом Эрдёша имеют медианное значение 5. [56] Напротив, медианное число Эрдёша обладателей медали Филдса составляет 3. [57] По состоянию на 2015 год примерно 11 000 математиков имеют число Эрдёша 2 или меньше. [58] [59] Расстояния сотрудничества обязательно будут увеличиваться в течение длительного времени, поскольку математики с низким числом Эрдёша умирают и становятся недоступными для сотрудничества. Американское математическое общество предоставляет бесплатный онлайн-инструмент для определения числа Эрдёша каждого автора-математика, указанного в каталоге Mathematical Reviews . [60]
Число Эрдёша, скорее всего, впервые было определено Каспером Гоффманом [61], аналитиком , чьё собственное число Эрдёша равно 2; Гоффман был соавтором математика Ричарда Б. Дарста, который был соавтором Эрдёша. [62] Гоффман опубликовал свои наблюдения о плодотворном сотрудничестве Эрдёша в статье 1969 года под названием «А какое у вас число Эрдёша?» [63]
Джерри Гроссман написал, что можно утверждать, что член Зала славы бейсбола Хэнк Аарон может считаться имеющим номер Эрдёша 1, поскольку они оба подписали один и тот же бейсбольный мяч (для Карла Померанса ), когда Университет Эмори вручил им почетные степени в один и тот же день. [64] Номера Эрдёша также предлагались для младенца, лошади и нескольких актеров. [65]
Еще одна крыша, еще одно доказательство.
— Пол Эрдёш [66]
Имущество мало что значило для Эрдёша; большинство его вещей помещалось в чемодан, как того требовал его странствующий образ жизни. Награды и другие доходы обычно жертвовались нуждающимся и различным достойным делам. Большую часть своей жизни он провел, путешествуя между научными конференциями, университетами и домами коллег по всему миру. Он заработал достаточно на стипендиях от университетов в качестве приглашенного лектора и от различных математических премий, чтобы финансировать свои поездки и основные потребности; оставшиеся деньги он использовал для финансирования денежных премий за доказательства «проблем Эрдёша» (см. выше). Обычно он появлялся на пороге дома коллеги и объявлял: «Мой мозг открыт», оставаясь достаточно долго, чтобы поработать над несколькими статьями, прежде чем уйти через несколько дней. Во многих случаях он спрашивал текущего соавтора, кого посетить следующим.
Его коллега Альфред Реньи сказал: «Математик — это машина для превращения кофе в теоремы» [67] , и Эрдёш пил его в больших количествах; эту цитату часто неправильно приписывают Эрдёшу [68], но сам Эрдёш приписывал её Реньи. [69] После смерти матери в 1971 году он начал принимать антидепрессанты и амфетамины, несмотря на беспокойство своих друзей, один из которых ( Рон Грэм ) поспорил с ним на 500 долларов, что не сможет прекратить принимать их в течение месяца. Эрдёш выиграл пари, но пожаловался, что это повлияло на его производительность: «Вы показали мне, что я не наркоман. Но я не сделал никакой работы. Я вставал утром и пялился на чистый лист бумаги. У меня не было никаких идей, как у обычного человека. Вы отбросили математику на месяц назад». [70] После того, как он выиграл пари, он немедленно возобновил прием риталина и бензедрина . [71]
У него был свой собственный своеобразный словарь; хотя он был агностиком-атеистом , [72] [73] он говорил о «Книге», визуализации книги, в которой Бог записал лучшие и самые элегантные доказательства математических теорем. [74] На лекциях в 1985 году он сказал: «Вам не обязательно верить в Бога, но вы должны верить в Книгу ». Он сам сомневался в существовании Бога. [75] [76] Он шутливо прозвал его SF (от «Верховный фашист»), обвинив его в том, что он прячет свои носки и венгерские паспорта , и хранит самые элегантные математические доказательства при себе. Когда он видел особенно красивое математическое доказательство, он восклицал: «Это из Книги !» Это позже вдохновило его на книгу под названием « Доказательства из Книги» .
Другие своеобразные элементы словаря Эрдёша включают в себя: [71]
Он дал прозвища многим странам, например: США были «samland» (в честь дяди Сэма ) [71] , а Советский Союз был «joedom» (в честь Иосифа Сталина ). [71] Он утверждал, что хинди был лучшим языком, потому что слова для обозначения старости ( bud̩d̩hā ) и глупости ( buddhū ) звучали почти одинаково. [78]
Эрдёш подписался «Paul Erdos PGOM». Когда ему исполнилось 60, он добавил «LD», в 65 — «AD», в 70 — «LD» (снова), а в 75 — «CD» [78]
Эрдёш является героем как минимум трёх книг: двух биографий ( « Человек, который любил только цифры» Хоффмана и « Мой мозг открыт » Шехтера , обе опубликованы в 1998 году) и детской иллюстрированной книги 2013 года Деборы Хейлигман ( «Мальчик, который любил математику: невероятная жизнь Пола Эрдёша »). [81]
Он также стал героем биографического документального фильма Джорджа Чичери «N — это число: портрет Пола Эрдёша» [82] , снятого ещё при его жизни.
В 2021 году малая планета ( астероид ) 405571 (временно обозначенная как 2005 QE87) была официально названа «Эрдёшпаль» в честь Эрдёша, при этом в цитате он описывается как «венгерский математик, большая часть работы которого была сосредоточена вокруг дискретной математики. Его работа была направлена на решение ранее открытых проблем, а не на разработку или исследование новых областей математики». [83] Название было предложено «К. Сарнецки, З. Кули» (Кули — первооткрыватель астероида).
тяжелым сердцем я чувствую, что мне придется разорвать свои связи с Университетом Ватерлоо, включая отказ от моей почетной степени, которую я получил от Университета в 1981 г. (что доставило мне огромное удовольствие). Я был очень расстроен обращением с профессором Адрианом Бонди. Я не утверждаю, что профессор Бонди был невиновен, но, учитывая его достижения и выдающиеся заслуги перед Университетом, я считаю, что «справедливость должна быть смягчена милосердием».
его собственным словам, «я не квалифицирован, чтобы сказать, существует ли Бог. Я сомневаюсь, что Он есть. Тем не менее, я всегда говорю, что в НФ есть эта трансфинитная Книга, которая содержит лучшие доказательства всех математических теорем, доказательства, которые элегантны и совершенны... Вам не обязательно верить в Бога, но вы должны верить в Книгу».
Я как-то сомневаюсь, что Он [существует]. Тем не менее, я всегда говорю, что в НФ есть эта трансфинитная Книга... которая содержит лучшие доказательства всех теорем, доказательства, которые элегантны и совершенны... Вам не обязательно верить в Бога, но вы должны верить в Книгу.
Атеист Эрдёш назвал «Книгой» место, где Бог хранит эстетически совершенные доказательства.
