Парадокс Бореля-Колмогорова

В теории вероятностей парадокс Бореля –Колмогорова (иногда называемый парадоксом Бореля ) — парадокс, относящийся к условной вероятности относительно события с вероятностью нуль (также известного как нулевой набор ). Он назван в честь Эмиля Бореля и Андрея Колмогорова .

Головоломка большого круга

Предположим, что случайная величина имеет равномерное распределение на единичной сфере. Каково ее условное распределение на большом круге ? Из-за симметрии сферы можно было бы ожидать, что распределение равномерно и не зависит от выбора координат. Однако два анализа дают противоречивые результаты. Во-первых, отметим, что выбор точки равномерно на сфере эквивалентен выбору долготы равномерно из и выбору широты из с плотностью . ^[1] Тогда мы можем рассмотреть два разных больших круга: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cos \varphi }$

1. Если координаты выбраны так, что большой круг является экватором ( широта ), то условная плотность для долготы, определенной на интервале, равна ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle f(\lambda \mid \varphi =0)={\frac {1}{2\pi }}.}$$
2. Если большой круг представляет собой линию долготы с , то условная плотность для на интервале равна ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ $${\displaystyle f(\varphi \mid \lambda =0)={\frac {1}{2}}\cos \varphi .}$$

Одно распределение равномерно на окружности, другое нет. Однако оба, похоже, относятся к одной и той же большой окружности в разных системах координат.

Между в остальном компетентными специалистами по теории вероятностей бушевало множество совершенно бесполезных споров по поводу того, какой из этих результатов «верный».

—  ET Джейнс ^[1]

Объяснение и выводы

В случае (1) выше условная вероятность того, что долгота λ лежит во множестве E при условии, что φ = 0, может быть записана как P ( λ ∈ E | φ = 0). Элементарная теория вероятностей предполагает, что это можно вычислить как P ( λ ∈ E и φ = 0)/ P ( φ = 0), но это выражение не является четко определенным, поскольку P ( φ = 0) = 0. Теория меры дает способ определить условную вероятность, используя предел событий R _ab = { φ  : a < φ < b }, которые представляют собой горизонтальные кольца (зоны искривленной поверхности сферических сегментов ), состоящие из всех точек с широтой между a и b .

Разрешение парадокса заключается в том, чтобы заметить, что в случае (2) P ( φ ∈ F | λ = 0) определяется с использованием предела событий L _cd = { λ  : c < λ < d }, которые являются лунками (вертикальными клиньями), состоящими из всех точек, долгота которых варьируется между c и d . Таким образом, хотя P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) каждый обеспечивает распределение вероятностей на большом круге, один из них определяется с использованием пределов колец, а другой — с использованием пределов лунок. Поскольку кольца и лунки имеют разные формы, должно быть менее удивительным, что P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) имеют разные распределения.

Понятие условной вероятности относительно изолированной гипотезы, вероятность которой равна 0, недопустимо. Ибо мы можем получить распределение вероятностей для [широты] на меридиональной окружности только в том случае, если будем рассматривать эту окружность как элемент разложения всей сферической поверхности на меридиональные окружности с заданными полюсами.

—  Андрей Колмогоров ^[2]

… термин «большой круг» неоднозначен, пока мы не укажем, какая ограничивающая операция его производит. Аргумент интуитивной симметрии предполагает экваториальный предел; однако поедание ломтиков апельсина может предполагать и другой.

—  ET Джейнс ^[1]

Математическое объяснение

Теоретическая перспектива измерения

Чтобы понять проблему, нам нужно признать, что распределение непрерывной случайной величины описывается плотностью f только относительно некоторой меры μ . Оба важны для полного описания распределения вероятностей. Или, что эквивалентно, нам нужно полностью определить пространство, на котором мы хотим определить f .

Пусть Φ и Λ обозначают две случайные величины, принимающие значения в Ω ₁ = соответственно Ω ₂ = [− π , π ]. Событие {Φ =  φ , Λ =  λ } дает точку на сфере S ( r ) с радиусом r . Определим преобразование координат ${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \cos \lambda \\y&=r\cos \varphi \sin \lambda \\z&=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

для которого получаем элемент объема

${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\times {\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r^{2}\cos \varphi \ .}$

Более того, если φ или λ фиксированы, мы получаем элементы объема

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{r}(\lambda )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\right\|=r\ ,\quad {\text{respectively}}\\[3pt]\omega _{r}(\varphi )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r\cos \varphi \ .\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle \mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )=f_{\Phi ,\Lambda }(\varphi ,\lambda )\omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$

обозначим совместную меру на , которая имеет плотность относительно и пусть ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$ ${\displaystyle f_{\Phi ,\Lambda }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi }(d\varphi )&=\int _{\lambda \in \Omega _{2}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ ,\\\mu _{\Lambda }(d\lambda )&=\int _{\varphi \in \Omega _{1}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ .\end{aligned}}}$

Если предположить, что плотность равномерна, то ${\displaystyle f_{\Phi ,\Lambda }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi \mid \Lambda }(d\varphi \mid \lambda )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Lambda }(d\lambda )}={\frac {1}{2r}}\omega _{r}(\varphi )\,d\varphi \ ,\quad {\text{and}}\\[3pt]\mu _{\Lambda \mid \Phi }(d\lambda \mid \varphi )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Phi }(d\varphi )}={\frac {1}{2r\pi }}\omega _{r}(\lambda )\,d\lambda \ .\end{aligned}}}$

Следовательно, имеет равномерную плотность относительно , ​​но не относительно меры Лебега. С другой стороны, имеет равномерную плотность относительно и меры Лебега. ${\displaystyle \mu _{\Phi \mid \Lambda }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\varphi )\,d\varphi }$ ${\displaystyle \mu _{\Lambda \mid \Phi }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\lambda )\,d\lambda }$

Доказательство противоречия

Рассмотрим случайный вектор , равномерно распределенный на единичной сфере . ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Начнем с параметризации сферы с помощью обычных сферических полярных координат :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(\varphi )\cos(\theta )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=\sin(\varphi )\end{aligned}}}$

где и . ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }$

Мы можем определить случайные величины как значения под обратной функцией этой параметризации или, более формально, используя функцию arctan2 : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle (X,Y,Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\arcsin(Z)\\\Theta &=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-Z^{2}}}},{\frac {X}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Используя формулы для площади поверхности сферического клина и сферического наконечника , поверхность сферического клина определяется как

${\displaystyle \operatorname {Area} (\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )=(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

Поскольку распределено равномерно, вероятность пропорциональна площади поверхности, что дает совместную кумулятивную функцию распределения ${\displaystyle (X,Y,Z)}$

${\displaystyle F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )=P(\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )={\frac {1}{4\pi }}(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

Совместная функция плотности вероятности тогда определяется как

${\displaystyle f_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \partial \theta }}F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$

Обратите внимание, что и являются независимыми случайными величинами. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$

Для простоты мы не будем рассчитывать полное условное распределение на большом круге, а только вероятность того, что случайный вектор лежит в первом октанте. То есть, мы попытаемся рассчитать условную вероятность с ${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,0<Y<X\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}\end{aligned}}}$

Мы пытаемся оценить условную вероятность как предел обусловленности событий

${\displaystyle B_{\varepsilon }=\{|\Phi |<\varepsilon \}}$

Поскольку и независимы, то независимы и события , поэтому ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$

${\displaystyle P(A\mid B)\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon })}{P(B_{\varepsilon })}}=\lim _{\varepsilon \to 0}P(A)=P\left(0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{8}}.}$

Теперь повторяем процесс с другой параметризацией сферы:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin(\varphi )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=-\cos(\varphi )\cos(\theta )\end{aligned}}}$

Это эквивалентно предыдущей параметризации, повернутой на 90 градусов вокруг оси Y.

Определить новые случайные величины

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi '&=\arcsin(X)\\\Theta '&=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-X^{2}}}},{\frac {-Z}{\sqrt {1-X^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

Вращение сохраняет меру, поэтому плотность и одинакова: ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Theta '}$

${\displaystyle f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$.

Выражения для A и B следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,\ 0<Y<X\}&&=\left\{0<\Theta '<\pi ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}&&=\left\{\Theta '=-{\frac {\pi }{2}}\right\}\cup \left\{\Theta '={\frac {\pi }{2}}\right\}.\end{aligned}}}$

Попытка снова оценить условную вероятность как предел обусловленности событий

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\prime }=\left\{\left|\Theta '+{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}\cup \left\{\left|\Theta '-{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}.}$

Используя правило Лопиталя и дифференцирование под знаком интеграла :

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\mid B)&\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon }^{\prime })}{P(B_{\varepsilon }^{\prime })}}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\frac {4\varepsilon }{2\pi }}}P\left({\frac {\pi }{2}}-\varepsilon <\Theta '<{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}\int _{{\pi }/{2}-\epsilon }^{{\pi }/{2}+\epsilon }\int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{\sin(\theta )<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta \\&=\pi \int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{1<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}\left(\varphi ,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} \varphi \\&=\pi \int _{\pi /4}^{\pi /2}{\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\neq {\frac {1}{8}}\end{aligned}}}$

Это показывает, что условную плотность нельзя рассматривать как обусловленность события с нулевой вероятностью, как объясняется в разделе Условная вероятность#Обусловливание события с нулевой вероятностью .

Смотрите также

• Теорема о распаде  – Теорема в теории меры

Примечания

1. Jaynes 2003, стр. 1514–1517
2. Первоначально Колмогоров (1933), переведено в Колмогоров (1956). Источник: Поллард (2002)

Ссылки

• Джейнс, ET (2003). "15.7 Парадокс Бореля-Колмогорова". Теория вероятностей: логика науки . Cambridge University Press. стр. 467–470. ISBN 0-521-59271-2. МР  1992316.
  • Фрагментарное издание (1994) (стр. 1514–1517) Архивировано 30 сентября 2018 г. на Wayback Machine ( формат PostScript )
• Колмогоров, Андрей (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер.
  • Перевод: Колмогоров, Андрей (1956). "Глава V, §2. Объяснение парадокса Бореля". Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. С. 50–51. ISBN 0-8284-0023-7. Архивировано из оригинала 2018-09-14 . Получено 2009-03-12 .
• Поллард, Дэвид (2002). "Глава 5. Обусловливание, пример 17". Руководство пользователя по измерению теоретической вероятности . Cambridge University Press. стр. 122–123. ISBN 0-521-00289-3. МР  1873379.
• Mosegaard, Klaus; Tarantola, Albert (2002). "16 Вероятностный подход к обратным задачам". Международный справочник по землетрясениям и инженерной сейсмологии . Международная геофизика. Том 81. С. 237–265. doi :10.1016/S0074-6142(02)80219-4. ISBN 9780124406520.
• Галь, Ярин. «Парадокс Бореля – Колмогорова» (PDF) .