В геометрии однородные соты в гиперболическом пространстве являются мозаиками выпуклых однородных многогранных ячеек . В трехмерном гиперболическом пространстве существует 23 семейства групп Кокстера паракомпактных однородных сот, сгенерированных как конструкции Витхоффа и представленных кольцевыми перестановками диаграмм Кокстера для каждого семейства. Эти семейства могут производить однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или вершинными фигурами , включая идеальные вершины на бесконечности, аналогичные гиперболическим однородным мозаикам в 2-мерном пространстве .
Из однородных паракомпактных сот H 3 11 являются регулярными , что означает, что их группа симметрий действует транзитивно на их флагах. Они имеют символ Шлефли {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}, и показаны ниже. Четыре имеют конечные идеальные многогранные ячейки: {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} и {5,3,6}.
Это полный перечень 151 уникальных витхоффовых паракомпактных однородных сот, сгенерированных из тетраэдрических фундаментальных доменов (паракомпактных групп Коксетера ранга 4). Соты индексируются здесь для перекрестных ссылок на дублирующие формы, со скобками вокруг непервичных конструкций.
Чередования перечислены, но либо повторяются, либо не генерируют однородных решений. Чередования с одним отверстием представляют собой операцию удаления зеркала. Если удаляется конечный узел, генерируется другое симплексное (тетраэдрическое) семейство. Если отверстие имеет две ветви, генерируется многогранник Винберга , хотя только многогранник Винберга с зеркальной симметрией связан с симплексными группами, и их однородные соты не были систематически исследованы. Эти несимплектические (пирамидальные) группы Кокстера не перечислены на этой странице, за исключением особых случаев полугрупп тетраэдрических. Семь однородных сот, которые возникают здесь как чередования, пронумерованы от 152 до 158, после 151 формы Витхоффа, не требующей чередования для своего построения.
Полный список несимплектических (нететраэдрических) паракомпактных групп Коксетера был опубликован П. Тумаркиным в 2003 году. [1] Наименьшая паракомпактная форма в H 3 может быть представлена как
или
, или [∞,3,3,∞], который может быть построен путем зеркального удаления паракомпактной гиперболической группы [3,4,4] как [3,4,1 + ,4] :
=
. Удвоенная фундаментальная область изменяется от тетраэдра до четырехугольной пирамиды. Другая пирамида -или
, построенный как [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞] :=.
Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Коксетера превращает их в графы-бабочки: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3))] или
, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] или
, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] или
.
=
,=,=.
Другая несимплектическая полугруппа — это↔
.
Радикальная несимплектическая подгруппа — это
↔
, который можно удвоить в область треугольной призмы как
↔
.
Существует 15 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [6,3,4] или
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [6,3,6] или
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [3,6,3] или
Существует 15 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [4,4,3] или
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера : [4,4,4] или.
Существует 11 форм (из которых только 4 не входят в семейство [4,4,3]), порожденных перестановками колец группы Коксетера :
Существует 7 форм (все они являются общими с семейством [4,4,4]), порожденных перестановками колец группы Коксетера :
Существует 11 форм (и только 4 не входят в семейство [6,3,4]), порожденных перестановками колец группы Коксетера : [6,3 1,1 ] или.
Существует 11 форм, 4 из которых уникальны для этого семейства, порожденных перестановками колец группы Коксетера :, с↔.
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :.
Существует 5 форм, 1 из которых уникальна, порожденных перестановками колец группы Коксетера :. Повторяющиеся конструкции связаны следующим образом:↔,↔, и
↔.
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :
.
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :
Существует 9 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :
Существует 6 форм, образованных перестановками колец группы Коксетера :.
Существует 11 форм, 4 из которых уникальны, порожденных перестановками колец группы Коксетера : [3,3 [3] ] или. 7 являются полусимметричными формами [3,3,6]:
↔.
Существует 11 форм, 4 из которых уникальны, порожденных перестановками колец группы Коксетера : [4,3 [3] ] или. 7 являются полусимметричными формами [4,3,6]:↔.
Существует 11 форм, 4 из которых уникальны, порожденных перестановками колец группы Коксетера : [5,3 [3] ] или
. 7 являются полусимметричными формами [5,3,6]:↔.
Существует 11 форм, 4 из которых уникальны, порожденных перестановками колец группы Коксетера : [6,3 [3] ] или. 7 являются полусимметричными формами [6,3,6]:↔.
Существует 8 форм, 1 из которых уникальна, порожденных перестановками колец группы Коксетера :. Два дублируются как↔, два как↔, и три как↔.
Существует 4 формы, 0 из которых уникальны, порожденные перестановками колец группы Коксетера :
. Они повторяются в четырех семействах:
↔(индекс 2 подгруппы),
↔(индекс 4 подгруппа), ↔
(индекс 6 подгруппы), и ↔
(индекс 24 подгруппы).
Symmetry in these graphs can be doubled by adding a mirror: [1[n,3[3]]] = [n,3,6]. Therefore ring-symmetry graphs are repeated in the linear graph families.